Exercícios Resolvidos de Regra da Cadeia

Derive:

y = x sinh x

Passo 1

Quando a gente olha pra uma função elevada a uma função já dá um nó na cabeça, não é mesmo? Parece difícil a beça e já da um medo! Mas calma, tem uma propriedade das exponenciais que salva muito a gente nesses casos, dá uma olhada:

a = e ln a

Sendo a um número qualquer. Ok, mas se ao invés de a tivéssemos uma função?

f x = e ln f x

Nada de diferente pessoal! Nada mesmo! Então vamos usar essa propriedade e escrever:

y = e ln y = e ln x sinh x

E, pra fechar esse passo, vamos usar mais uma propriedade importante, dessa vez dos logaritmos:

ln a b = b ln a

E se você acha que isso vale também pra funções, achou certo! Vamos ter então:

y = e ln x sinh x = e sinh x     ln x

Opa, agora talvez fique mais tranquilo da gente derivar! Vamo que vamo então:

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Se lembrarmos bem, quando derivamos e elevado a alguma função, pela regra da cadeia, ficamos com:

e g x ' = g ' x     e g x

Olhando bem pra nossa função e comparando com a regra da cadeia em cima

y = e sinh x     ln x

A gente vê bem que é esse g x . No caso, vai ser:

g x = sinh x     ln x

Bem, vai faltar só derivar agora! E a derivada dessa função então vai ser, pela regra do produto:

g ' x = sinh x   '   ln x +   sinh x     ln x '

g ' x = cosh x ln x + sinh x x

Passo 3

Fechamos a questão então galera! Próximo passo é só juntar tudo que encontramos, que foi:

y ' = e g x ' = g ' x     e g x

g x = sinh x     ln x

g ' x = cosh x ln x + sinh x x

Juntando tudo:

y ' = cosh x ln x + sinh x x   e sinh x     ln x

E lá do primeiro passo, pescando essa informação importantíssima:

x sinh x = e sinh x     ln x

Fechamos a questão com:

y ' =   x sinh x   cosh x ln x + sinh x x

Resposta

y ' =   x sinh x   cosh x ln x + sinh x x

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