Derive as funções dos exercícios 6 a 16 (se for conveniente, use derivação logarítmica)

8)

f x = ln ⁡ x x 2 + 1

Passo 1

Cara, precisamos derivar essa função composta. Epa! Se é composta, já significa uma coisa... Teremos que utilizar a regra da cadeia. Mas eu quero te dizer para não se preocupar, ela é bem tranquila, veja:

1º - Precisamos identificar a função que está por fora e derivar tendo como o argumento a função mais interna.

2º - Multiplicar pela derivada da função mais interna.

No nosso caso, a função mais externa de todas é a o logaritmo natural. Tem uma média dos parênteses envolvendo um produto, e depois uma mais interna ainda, que está dentro da raiz ;)

Passo 2

f x = ln ⁡ x x 2 + 1   →

Derivando a mais externa primeiro (o ln ⁡   )...

f ' x = 1 x x 2 + 1 ⋅ x x 2 + 1 '

Observe duas coisas: uma que derivamos o ln ⁡   , mas colocamos a função de dentro como argumento dele repetindo, como se em

ln ⁡ t ' = 1 t

Mas no lugar de t , colocamos a função.

Porém, e agora entra a segunda coisa a ser observado, multiplicamos pela derivada da de dentro, saca? E essa é a regra da cadeia pra dar aquela lembrada

Passo 3

Continuamos a derivada...

f ' x = 1 x x 2 + 1 ⋅ x x 2 + 1 '

Agora derivando esse produto aplicando sua regra de derivação...

f ' x = 1 x x 2 + 1 x ' x 2 + 1 + x x 2 + 1 ' →

f ' x = 1 x x 2 + 1 x 2 + 1 + x x 2 + 1 ' →

Repare que apareceu ali outra derivada que vamos ter que utilizar a regra da cadeia... Afinal, a raiz é uma função mais externa, enquanto que x 2 + 1 , é a mais interna. Então derivando a raiz (tendo como argumento a função x 2 + 1 ) e depois multiplicando pela derivada dessa...

f ' x = 1 x x 2 + 1 x 2 + 1 + x 1 2 x 2 + 1 ⋅ x 2 + 1 ' →

f ' x = 1 x x 2 + 1 x 2 + 1 + x 1 2 x 2 + 1 ⋅ 2 x

A parte de derivação acabou! Agora é só o algebrismo para simplificar isso aaí. Bora?

Passo 4

f ' x = 1 x x 2 + 1 x 2 + 1 + x 1 2 x 2 + 1 ⋅ 2 x   →

Multiplicando e removendo aqueles parênteses mais interno...

f ' x = 1 x x 2 + 1 x 2 + 1 + x 2 x 2 + 1   →

Tirando uma espécie de M M C de x 2 + 1 e 1 ...

f ' x = 1 x x 2 + 1 x 2 + 1 2 x 2 + 1 + x 2 x 2 + 1   →

f ' x = 1 x x 2 + 1 x 2 + 1 + x 2 x 2 + 1   →

f ' x = 2 x 2 + 1 x x 2 + 1

Resposta

f ' x = 2 x 2 + 1 x x 2 + 1

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