Derive as funções dos exercícios 6 a 16 (se for conveniente, use derivação logarítmica)

14)

f x = x π + π x

Passo 1

Cara, antes de tudo, sabemos que a derivada da soma é a soma das derivadas, certo?

f x = x π + π x                         →                           f ' x = x π ' + π x '           →

Essa primeira derivada é bem tranquila, pois π é um número maior que 1 , então a derivada desse primeiro termo segue a lei do “tombamento” como se no lugar de π estivesse um 2 ...

f ' x = π x π - 1 + π x '

Já esse segundo termo da derivada... Dá um pouquinho de mais trabalho, pois não é a função exponencial, e sim uma potência de base qualquer. :\

Então vem comigo para vermos como resolver esse problema :D

Passo 2

Como não temos uma exponencial, que tal seguirmos o conselho do problema e usar derivação logarítmica? Aliás, o que significa derivação logarítmica?

Significa que em casos de potenciação assim (diferentes do exponencial) devemos fazer uma “magia” usando logaritmo natural e a exponencial e para fazer essa potenciação chegar a algo que sabemos derivar.

Repare que

e ln ⁡ π x = π x

Por propriedade mara da potenciação. Outra propriedade nos garante que

π x = e ln ⁡ π x = e x ln ⁡ π

Substituindo...

f ' x = π x π - 1 + π x '           →               f ' x = π x π - 1 + e x ln ⁡ π '

Agora conseguimos calcular de boa aplicando a regra da cadeia, pois derivada de exponencial tá de boa pra nós! Siga-me!

Passo 3

f ' x = π x π - 1 + e x ln ⁡ π '

Teremos que utilizar a regra da cadeia. Mas eu quero te dizer para não se preocupar... Ela é bem tranquila, veja:

1º - Precisamos identificar a função que está por fora e derivar tendo como o argumento a função mais interna.

2º - Multiplicar pela derivada da função mais interna.

No nosso caso, a função mais externa de todas é o exponencial tendo como argumento a função mais interna x ln ⁡ π .

Passo 4

f ' x = π x π - 1 + e x ln ⁡ π '

Derivando a mais externa primeiro (o exponencial)...

f ' x = π x π - 1 + e x ln ⁡ π ⋅ x ln ⁡ π '

Observe duas coisas:

Uma que derivamos o exponencial, mas colocamos a função de dentro como argumento dele repetindo, como se em

e t ' = e t

Mas no lugar de t , colocamos a função x ln ⁡ π .

Porém, e agora entra a segunda coisa a ser observado, multiplicamos pela derivada da de dentro, saca? E essa é a regra da cadeia pra dar aquela lembrada

Passo 5

Como ln ⁡ π é constante e e x ln ⁡ π = π x ...

f ' x = π x π - 1 + e x ln ⁡ π ⋅ x ln ⁡ π '       →

f ' x = π x π - 1 + ln ⁡ π π x

Resposta

π x π - 1 + ln ⁡ π π x

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a derivada da função. y = x 2 + 1 x 2 - 1 3
Encontre a derivada da função. y = r r 2 + 1
Encontre a derivada da função. d d x 2 sen ⁡ ( π x )
Encontre a derivada da função. y = x + x + x
Encontre a primeira e a segunda derivadas da função. y = e α x sen ⁡ β x