a) Derive. Simplifique sua resposta quando possível:

arctan ⁡ x 2 - 1

Passo 1

Bora lá. Temos que derivar uma função trigonométrica inversa. Ok, só pra lembrar, a derivada de arctan ⁡ x tem um cálculo direto viu? Vamos ter:

d d x arctan ⁡ x = 1 1 + x 2

Beleza, mas não é bem x que que tá no interior do a r c t a n né? Na verdade, é bem como se tivéssemos:

arctan ⁡ x 2 - 1 = arctan ⁡ g x

g x = x 2 - 1

Opa, se derivarmos de novo, vamos acabar usando a regra da cadeia! Até porque, seja f e g funções quaisqueres de x :

d d x f g x = f ' g x ∙ g ' x

Seguindo essa regra aí para f x = arctan ⁡ x , vamos ter:

d d x arctan ⁡ g x = 1 1 + g x 2 ∙ g ' x

d d x arctan ⁡ x 2 - 1 = 1 1 + x 2 - 1 2 ∙ x 2 - 1 '

d d x arctan ⁡ x 2 - 1 = 2 x x 4 - 2 x 2 + 2

Resposta

d d x arctan ⁡ x 2 - 1 = 2 x x 4 - 2 x 2 + 2

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