5. Encontre a derivada das seguintes funções:

b) g x = c o s 3 x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função g x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso, temos uma função composta, então a melhor maneira de calcular essa derivada é através da regra da cadeia.

Dada uma função g x = f h x , a derivada g ' x é dada por

g ' x = h ' x · f ' h x

A derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Se g x = c o s 3 x , então h x = cos ⁡ x e f h x = h x 3 .

Aplicando a regra da cadeia...

g ' x = d cos ⁡ x d x · d h x 3 d h x

Se não está tão claro, podemos substituir h x por uma variável qualquer na segunda derivada

g ' x = d cos ⁡ x d x · d u 3 d u

Pelo m��todo de derivação polinomial, a derivada de u 3 é

d u 3 d u = 3 u 2

Já pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de cos ⁡ x é

d cos ⁡ x d x = - s e n x

Substituindo em g ' x

g ' x = - s e n x · 3 u 2

Substituindo u por h x de volta, vamos obter

g ' x = - s e n x · 3 cos ⁡ x 2

g ' x = - 3 s e n x c o s 2 x

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

g ' x = - 3 s e n x c o s 2 x

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