Sejam   g diferenciável e f x = x g x ² .

  1. Mostre que f ' x = g   x ² + 2 x 2 g '   x ² ;
  2. Calcule g 4 , sabendo que g 4 + g ' 4 = 1 e f ' 2 = - 1 .

Passo 1

a )  

Vamos calcular f x . Começando com a regra do produto:

f ' x = x ' g x ² + x g x ² '

f ' x = 1 . g x ² + x g x ² '

Passo 2

Agora com a regra da cadeia, pra achar a derivada dessa parte da direita:

g x ² ' = g ' x 2 . x 2 '

g x ² ' = 2 x   g ' x 2

Passo 3

Juntando isso tudo:

f ' ( x ) = g x 2 + x 2 x   g ' x 2

f ' ( x ) = g x 2 + 2 x 2 g ' x 2

Pronto, provamos

Passo 4

b )

Beleza, agora podemos achar g 4 .

Se temos g ( 4 ) , então significa que

x 2 = 4

Assim

x = ± 2

Do enunciado, temos que g 4 + g ' 4 = 1 e f ' 2 = - 1 .

Então, substituindo tudo isso na derivada que achamos na letra a , vamos ter:

f ' ( 2 ) = g 4 + 2 ( 2 ) 2 g ' 4

- 1 = g 4 + 8 g ' 4

Isolando g ' ( 4 ) :

g ' 4 = - 1 - g 4 8

Agora isolando g ' ( 4 ) da expressão do enunciado:

g ' 4 = 1 - g ( 4 )  

Passo 5

Igualando as duas expressões para g ' ( 4 ) , temos:

- 1 - g 4 8 = 1 - g ( 4 )

- 1 - g 4 = 8 - 8 g ( 4 )

8 g 4 - g 4 = 8 + 1

g 4 = 9 7

Resposta

(b)

9 7

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