17 – Derive.

g) y = x a r c t g x cos ⁡ 2 x

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

A ideia dessa questão é bem simples! O que temos que fazer é calcular a derivada de y , dada por

y = x a r c t g x cos ⁡ 2 x

Mas analisando a função y que nos deram, vamos ver algo um pouco diferente pois temos uma fração de duas funções em que no numerador temos o produto entre outras duas funções e no denominador uma função composta...

Dessa forma, temos que pedir ajuda para algumas técnicas de derivação pra podermos calcular a derivada de y .

Tem alguma ideia em mente? 🤔🤔

Pra isso, vamos observar algumas características da função.

Consegue ver quais características podemos usar a nosso favor? 👀

Bora ver!

Passo 2

Primeiro vimos que ela é uma fração de funções, então podemos aplicar a regra do quociente.

Esse método consiste em aplicar uma formulinha dada por

y = f x g x ,     y ' = f ' x · g x - f x · g ' x g x 2

Outra característica é que se y = f x g x , f x = x a r c t g x , ou seja, o produto de duas funções x e a r c t g x .

Portanto, para obter a derivada f ' x , vamos aplicar a regra do produto. Essa regra também possui uma formulinha dada por

f x = p x · q x ,     f ' x = p ' x · q x + p x · q ' x

E por fim, no denominador g x , a função é dada por uma função composta, ou seja, para a derivada g ' x , usamos a regra da cadeia (a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora).

g x = r t x ,     g ' x = t ' x · r ' t x

Sacou? Vamos aplicar essas técnicas para nossa função!

Se y = x a r c t g x cos ⁡ 2 x , f x = x a r c t g x e g x = cos ⁡ 2 x , aplicando a regra do quociente, temos

y ' = f ' x · g x - f x · g ' x g x 2

y ' = d x a r c t g x d x · cos ⁡ 2 x - x a r c t g x · d cos ⁡ 2 x d x cos ⁡ 2 x 2

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Aplicando a segunda característica na derivada de x a r c t g x , temos que pela regra do produto...

d x a r c t g x d x = d x d x · a r c t g x + x · d a r c t g x d x

Substituindo em y ' ...

y ' = d x d x · a r c t g x + x · d a r c t g x d x · cos ⁡ 2 x - x a r c t g x · d cos ⁡ 2 x d x cos ⁡ 2 x 2

Ainda não podemos calcular y ' pois na derivada de cos ⁡ 2 x temos que aplicar a regra da cadeia como vimos na terceira característica!

g x = r t x ,     g x = cos ⁡ 2 x r t x = cos ⁡ t x t x = 2 x

Ou seja.

d cos ⁡ 2 x d x = d 2 x d x · d cos ⁡ t x d t x

Substituindo t x por uma variável qualquer em cos ⁡ t x , temos

d cos ⁡ 2 x d x = d 2 x d x · d cos ⁡ u d u

Substituindo em y '

y ' = d x d x · a r c t g x + x · d a r c t g x d x · cos ⁡ 2 x - x a r c t g x · d 2 x d x · d cos ⁡ u d u cos ⁡ 2 x 2

Ficou enorme, não é? 👀

Mas relaxa, vamos com calma... passo a passo.

Passo 4

Primeiro, nas derivadas de x e 2 x , vamos usar o método de derivação polinomial (multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo 1 do seu expoente).

d x d x = x 1 - 1 = 1

d 2 x d x = 2 x 1 - 1 = 2

Já nas derivadas de a r c t g x e de cos ⁡ u , vamos recorrer ao teorema fundamental do cálculo. Usamos esse teorema quando temos que derivar função não triviais, como as funções trigonométricas...

d a r c t g x d x = 1 x 2 + 1

d cos ⁡ u d u = - s e n u

Substituindo essas derivadas em y ' , temos

y ' = 1 · a r c t g x + x · 1 x 2 + 1 · cos ⁡ 2 x - x a r c t g x · 2 · - s e n u cos ⁡ 2 x 2

Substituindo u por 2 x de volta e simplificando a equação

y ' = a r c t g x + x · 1 x 2 + 1 · cos ⁡ 2 x - x a r c t g x · 2 · - s e n 2 x c o s 2 2 x

y ' = a r c t g x + x x 2 + 1 cos ⁡ 2 x + 2 x a r c t g x s e n 2 x c o s 2 2 x

E finalmente chegamos ao resultado da derivada de y !

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

y ' = a r c t g x + x x 2 + 1 cos ⁡ 2 x + 2 x a r c t g x s e n 2 x c o s 2 2 x

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