1 - Calcule a derivada das seguintes funções

b) e x s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão foi dada uma função f x = e x s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x e o que temos que fazer é calcular a derivada dessa função.

Tem alguma ideia do que fazer para obter essa derivada? 🤔🤔

Nesse caso, temos que ter quatro métodos em mente, o primeiro é a regra do quociente pois vemos que f x é o quociente entre duas funções.

Essa técnica consiste em aplicar uma fórmula dada por

f x = g x h x ,     f ' x = g ' x · h x - g x · h ' x h x 2

Em segundo temos que saber a regra do produto que também tem uma formulinha para nos ajudar

p x = q x · r x ,     p ' x = q ' x · r x + q x · r ' x

Tranquilo esses métodos? 😉

Passo 2

Além dessas técnicas, temos que ter em mente o método de derivação para funções compostas, pois se analisarmos f x , vamos observar que s e n 3 x é uma função composta.

Então para derivá-la temos que aplicar a regra da cadeia que consiste em multiplicar a derivada de dentro pela derivada de fora...

( f g x ' = g ' x · f ' g x

E por fim, temos que ter em mente a regra do expoente da derivada que quando temos a x , em que a é uma constante, sua derivada em relação a x é dada por

a x ' = a x ln ⁡ a

Agora sim estamos pontos para começar! 😁

Primeiro aplicamos a regra do quociente sabendo que g x = e x e h x =   s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x

f ' x = d e x d x · s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x - e x · d s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x d x s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x 2

Pelo teorema fundamental do cálculo, a derivada de e x é o próprio e x , ou seja

d e x d x = e x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

d s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x d x = d s e n 3 x d x + d 2 x cos ⁡ x d x

Para obter a derivada de s e n 3 x temos que aplicar a regra da cadeia como exemplificamos no início do passo 2 “a derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora”.

Se a função de dentro é dada por 3 x a função de fora é dada por s e n u (substituindo a função interna por u ).

d s e n 3 x d x = d 3 x d x · d s e n u d u

Pelo método de derivação polinomial, temos

d 3 x d x = 3 x 1 - 1 = 3

E pelo teorema fundamental do cálculo, temos

d s e n u d u = cos ⁡ u

substituindo

d s e n 3 x d x = 3 · cos ⁡ u

Não podemos deixar o resultado em função de u , então voltamos u para 3 x

d s e n 3 x d x = 3 · cos ⁡ 3 x

Tranquilo até aqui? 👀👀

Passo 3

Agora para a derivada de 2 x cos ⁡ x vamos aplicar a regra do produto pois temos o produto de duas funções 2 x e cos ⁡ x .

d 2 x cos ⁡ x d x = d 2 x d x · cos ⁡ x + 2 x · d cos ⁡ x d x

Na derivada de 2 x aplicamos a regra do expoente da derivada

d 2 x d x = 2 x ln ⁡ 2

E na derivada de cos ⁡ x apelamos para o teorema fundamental do cálculo que diz que essa derivada resulta em

d cos ⁡ x d x = - s e n x

Logo, substituindo na derivada de 2 x cos ⁡ x ....

d 2 x cos ⁡ x d x = 2 x ln ⁡ 2 · cos ⁡ x - 2 x · s e n x

Substituindo d e x d x = e x , d 2 x cos ⁡ x d x = 2 x ln ⁡ 2 cos ⁡ x - 2 x s e n x e d s e n 3 x d x = 3 cos ⁡ 3 x em f ' x , temos

f ' x = d e x d x · s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x - e x · d s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x d x s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x 2

f ' x = e x · s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x - e x · 3 cos ⁡ 3 x + 2 x ln ⁡ 2 cos ⁡ x - 2 x s e n x s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x 2

Simplificando...

f ' x = e x s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x - 3 cos ⁡ 3 x - 2 x ln ⁡ 2 cos ⁡ x + 2 x s e n x s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x 2

Assim, chegamos nessa fração imensa! Essa é a derivada de f x dada no enunciado!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f ' x = e x s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x - 3 cos ⁡ 3 x - 2 x ln ⁡ 2 cos ⁡ x + 2 x s e n x s e n 3 x + 2 x cos ⁡ x 2

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