17 – Derive.

f) y = x 2 e a r c t g 2 x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que obter a derivada de uma função dada por

y = x 2 e a r c t g 2 x

Porém, analisando essa função, vemos que ela é um pouco diferente, não é?

Primeiro y é dado pelo produto entre x 2 e e a r c t g 2 x . E também e a r c t g 2 x é uma função composta entre e e a r c t g 2 x que por sua vez também é uma função composta por a r c t g e 2 x .

Confuso, não é?

Mas tem alguma ideia de como calcular essa derivada? 👀

Nesse caso há dois métodos especiais que temos que aplicar! Primeiro é a regra do produto que consiste em calcular a derivada de uma função composta pelo produto de duas funções como

f x = g x · h x ,     f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

E o segundo é a regra da cadeia que consiste em nos auxiliar em derivadas de funções compostas, nesse caso a derivada de uma função assim é dado pela derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora, ou seja

p x = q r x ,     p ' x = r ' x · q ' r x

Sacou? Vamos ver como aplicamos no nosso caso? 😎

Passo 2

Vamos indo por partes!

Primeiro vemos como é a nossa função que queremos derivar

y = x 2 e a r c t g 2 x

Vimos no passo anterior que ela é composta pelo produto de duas funções, ou seja, f x = g x · h x onde

g x = x 2 h x = e a r c t g 2 x

Então f ' x será dada pela regra do produto como

f ' x = g ' x · h x + g x · h ' x

f ' x = d x 2 d x · e a r c t g 2 x + x 2 · d e a r c t g 2 x d x

Mas se formos calcular a derivada de f x como está aqui, vamos nos deparar com a derivada de e a r c t g 2 x , que não é nada trivial de se calcular, não é?

Então nesse caso, vamos usar a regra da cadeia para facilitar nossa vida.

Como vimos no passo anterior, uma função composta é dada por

p x = q r x

Comparando com e a r c t g 2 x , vemos que r x = a r c t g 2 x e q r x = e r x

Então a derivada de e a r c t g 2 x será dada por

d e a r c t g 2 x d x = d a r c t g 2 x d x · d e r x d r x

Considerando r x como v , podemos organizar melhor nossa derivada como

d e a r c t g 2 x d x = d a r c t g 2 x d x · d e v d v

Substituindo em f ' x ...

f ' x = d x 2 d x · e a r c t g 2 x + x 2 · d a r c t g 2 x d x · d e v d v

Agora podemos calcular a derivada? 🤔

Novamente se tentássemos calcular essa derivada, íamos travar na derivada de a r c t g 2 x .

Essa também é uma função composta, não é? Então aplicando as mesmas ideias que acabamos de aplicar para e a r c t g 2 x , chamando 2 x de u na derivada de fora, vamos chegar em

d a r c t g 2 x d x = d 2 x d x · d a r c t g u d u

Substituindo em f ' x novamente, temos

f ' x = d x 2 d x · e a r c t g 2 x + x 2 · d 2 x d x · d a r c t g u d u · d e v d v

Entendeu essa parte? 😁

Passo 3

Agora podemos calcular cada derivada separadamente e substituir em f ' x

As derivadas de x 2 e 2 x são obtidas pelo método da derivação polinomial (multiplicando a variável pela sua potência e subtraindo 1 do seu expoente).

d x 2 d x = 2 · x 2 - 1 = 2 x

d 2 x d x = 2 x 1 - 1 = 2

Já as derivadas de a r c t g u e e v são obtidas pelo teorema fundamental do cálculo.

Recorremos para esse teorema quando nossa função de derivação é uma função que não podemos aplicar um método conhecido, como por exemplo em funções trigonométricas e logarítmicas.

Portanto, essas derivadas são obtidas como

d a r c t g u d u = 1 u 2 + 1

d e v d v = e v

Substituindo essas derivadas em f ' x

f ' x = 2 x · e a r c t g 2 x + x 2 · 2 · 1 u 2 + 1 · e v

Não podemos deixar o resultado em função de u e v então vamos substituir u por 2 x de volta e v por a r c t g 2 x ...

f ' x = 2 x · e a r c t g 2 x + x 2 · 2 · 1 2 x 2 + 1 · e a r c t g 2 x

Organizando um pouquinho, temos

f ' x = 2 x e a r c t g 2 x + 2 x 2 e a r c t g 2 x 4 x 2 + 1

f ' x = 2 x e a r c t g 2 x 1 + x 4 x 2 + 1

E essa é a derivada que tínhamos que calcular!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

f ' x = 2 x e a r c t g 2 x 1 + x 4 x 2 + 1

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