Derive as funções dos exercícios 6 a 16 (se for conveniente, use derivação logarítmica)

7)

f x = e x ln ⁡ x

Passo 1

Eita! Não é uma derivada trivial, neh?

Mas não se preocupe, pois em derivadas de funções assim, sempre comesse com o que ta mais evidente. Tipo, nesse caso, temos uma derivada envolvendo exponencial, mas antes, temos um produto... Então derivemos utilizando a regra do produto :D

f x = e x ln ⁡ x       →

f ' x = e x ' ln ⁡ x + e x ln ⁡ x '  

Note que pela regra do produto, surgiu algumas derivadas ali em cima que devem ser resolvidas com certa calma. Bora?

Passo 2

Primeiro derivemos

e x '

que aparece no inicio ali em cima. Para calcular essa derivada, temos que utilizar a regra da cadeia. A função de fora é a exponencial, logo...

e x ' = e x ⋅ x '

Derivando a raiz...

e x ' = e x ⋅ x '

e x ' = e x 2 x

Passo 3

Falta-nos derivar o l n aplicando a regra da cadeia novamente (o logaritmo é a função mais externa, e a raiz a mais interna)...

ln ⁡ x ' = 1 x ⋅ x '

ln ⁡ x ' = 1 x ⋅ 1 2 x =

1 2 x

Passo 4

Voltando para a derivada central (a derivada lá do passo 1)...

f ' x = e x ' ln ⁡ x + e x ln ⁡ x '

E substituindo...

f ' x = e x 2 x ln ⁡ x + e x 2 x   →

Racionalizando aquela raiz feia dali...

f ' x = x   ln ⁡ x e x 2 x + e x 2 x   →

f ' x = e x 1 + x   ln ⁡ x 2 x  

Resposta

f ' x = e x 1 + x   ln ⁡ x 2 x

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