5. Encontre a derivada das seguintes funções:

c) h x = t g ( x 2 + 2 x )

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função h x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso, temos uma função composta, então a melhor maneira de calcular essa derivada é através da regra da cadeia.

Dada uma função h x = f g x , a derivada h ' x é dada por

h ' x = g ' x · f ' h x

A derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Se h x = t g ( x 2 + 2 x ) , então g x = x 2 + 2 x e f g x = t g g x .

Aplicando a regra da cadeia.

h ' x = d x 2 + 2 x d x · d t g g x d g x

Se substituirmos g x por u , podemos visualizar de maneira mais simples os passos que vamos seguir

h ' x = d x 2 + 2 x d x · d t g u d u

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de x 2 + 2 x é

d x 2 + 2 x d x = 2 x + 2

E pelo teorema fundamental do cálculo a derivada de t g u é

d t g u d u = s e c 2 u

Substituindo em h ' x

h ' x = 2 x + 2 · s e c 2 u

Substituindo u por g x ...

h ' x = 2 x + 2 s e c 2 x 2 + 2 x

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

h ' x = 2 x + 2 s e c 2 x 2 + 2 x

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