5. Encontre a derivada das seguintes funções:

d) s h x = e x - e - x 2

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função s h x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso, temos um termo que é uma função composta, então a melhor maneira de calcular essa derivada é através da regra da cadeia.

Dada uma função f x = h g x , a derivada f ' x é dada por

f ' x = g ' x · h ' g x

A derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

A função é s h x = e x - e - x 2 então s h ' x será

s h ' x = d e x - e - x 2 d x

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, temos que

s h ' x = d e x 2 d x - d e - x 2 d x

A derivada de e x 2 é dado pelo teorema fundamental do cálculo

d e x 2 d x = e x 2

Já a derivada de e - x 2 temos que aplicar a regra da cadeia.

Se f x = e - x 2 , então g x = - x e h g x = e g x 2

Aplicando a regra, temos

f ' x = d - x d x · d e g x 2 d g x

Substituindo g x por uma variável qualquer na segunda variável, temos que

f ' x = d - x d x · d e u 2 d u

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de - x é

d - x d x = - 1

E já vimos que

d e u 2 d u = e u 2

Substituindo u por g x de volta e aplicando os resultados em s h ' x

f ' x = - e - x 2

s h ' x = e x 2 - - e - x 2

s h ' x = e x + e - x 2

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

s h ' x = e x + e - x 2

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