5. Encontre a derivada das seguintes funções:

f) t g h x = e x - e - x e x + e - x

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, queremos calcular a derivada da função t g h x mas como essa função não é simplesmente um polinômio, vamos ter que aplicar algum método para nos auxiliar nessa tarefa.

Tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Nesse caso, temos a fração de duas funções, t g h x = k x p x então primeiramente podemos usar a regra do quociente que é dada por

t g h ' x = k ' x · p x - k x · p ' x p x 2

Mas também temos um termo que é uma função composta, então a melhor maneira de calcular a derivada desse termo é através da regra da cadeia.

Dada uma função f x = h g x , a derivada f ' x é dada por

f ' x = g ' x · h ' g x

A derivada de dentro multiplicada pela derivada de fora.

Entendeu? Bora começar!

Passo 2

Começando pela regra do quociente, temos que

t g h ' x = d e x - e - x d x · e x + e - x - e x - e - x · d e x + e - x d x e x + e - x 2

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

d e x - e - x d x = d e x d x - d e - x d x

d e x + e - x d x = d e x d x + d e - x d x

Substituindo em t g h ' x , temos

t g h ' x = d e x d x - d e - x d x · e x + e - x - e x - e - x · d e x d x + d e - x d x e x + e - x 2

Portanto, temos apenas que calcular duas derivadas.

A derivada de e x é obtida a partir do teorema fundamental do cálculo que diz

d e x d x = e x

Porém a derivada de e - x é um pouquinho diferente, nesse termo, temos uma função composta e portanto temos que aplicar a regra da cadeia.

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Se f x = e - x , então g x = - x e h g x = e g x

Aplicando a regra, temos que

f ' x = d e - x d x = d - x d x · d e g x d g x

Substituindo g x por uma constante qualquer, para facilitar a visualização do que estamos fazendo, temos que

d e - x d x = d - x d x · d e u d u

Pelo método de derivação polinomial, a derivada de

d - x d x = - 1

E já vimos que

d e u d u = e u

Logo

d e - x d x = - 1 · e u

substituindo u por g x

d e - x d x = - e - x

Substituindo os resultados em t g h ' x , temos

t g h ' x = e x - - e - x · e x + e - x - e x - e - x · e x + - e - x e x + e - x 2

Simplificando um pouquinho

t g h ' x = e x + e - x e x + e - x - e x - e - x e x - e - x e x + e - x 2

t g h ' x = e x + e - x 2 - e x - e - x 2 e x + e - x 2

t g h ' x = e 2 x + 2 e x e - x + e - 2 x - e 2 x - 2 e x e - x + e - 2 x e x + e - x 2

Simplificando...

t g h ' x = e 2 x + 2 + e - 2 x - e 2 x + 2 - e - 2 x e x + e - x 2

t g h ' x = 4 e x + e - x 2

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

t g h ' x = 4 e x + e - x 2

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