Encontre f ' ' em termos de g , g ' e g ' ' . Onde

f x = x g x 2

Passo 1

Bem, aqui ele quer a segunda derivada daquela função f , isso porque tem aquelas duas linhas em cima da f .

Para achar essa segunda derivada temos que derivar duas vezes, lembra? Vamos derivar então.

Repara que dentro da g na equação da f , temos um x 2 isso nos diz que temos que usar a regra da cadeia, vamos fazer

u x = x 2

Isso vai ajudar nas nossas contas para entender qual função está dentro da onde e como fica a regra da cadeia. A nossa f vai ficar

f x = x g u x

Passo 2

Fazendo a primeira derivada vamos ter que aplicar a regra da cadeia e a regra do produto, então vamos ter

f ' x = x ' g u x + x g u x '

Então vamos ter

f ' x = g u x + x g ' u x ∙ u ' x

Passo 3

Vamos trocar só a derivada de u x ali em cima, isso porque vai ajudar nas contas, como temos que derivar de novo para achar a segunda derivada vamos deixar o u x dentro da g e da g '

u ' x = 2 x

Assim a f ' vai ficar

f ' x = g u x + 2 x 2 g ' u x

Passo 4

Vamos, agora, para a segunda derivada. Vamos usar, de novo, a regra do produto e a regra da cadeia.

f ' ' x = g u x ' + 2 x 2 ' g ' u x + 2 x 2 g ' u x '

f ' ' x = g ' u x u ' x + 4 x g ' u x + 2 x 2 g ' ' u x ∙ u ' x

Agora, trocando a derivada de u ' x que já calculamos ali em cima vamos ter

f ' ' x = g ' u x 2 x + 4 x g ' u x + 4 x 3 g ' ' u x

Agora podemos trocar u x por x 2 , afinal a nossa resposta só pode depender de g , g ' , g ' ' e x .

f ' ' x = 2 x g ' x 2 + 4 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

f ' ' x = 6 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

Resposta

f ' ' x = 6 x g ' x 2 + 4 x 3 g ' ' x 2

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