Seja g   :   R → R diferenciável; e g 0 = 1 2   e   g ' 0 = 1 . Calcule f ' 0 , onde

f x = c o s x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2  

Passo 1

Temos que aplicar as Regras do Produto e da Cadeia para derivar essa f x :

f ' x   = cos ⁡ x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2   '

= cos ⁡ x ' g 2 tan ⁡ x x 2 + 2   + cos ⁡ x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2   '

= - sen ⁡ x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2   + cos ⁡ x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2   '  

Passo 2

Para a derivada do último termo, aplicamos a Regra da Cadeia, como se fosse uma função da tangente dentro de g x , que está dentro de uma função quadrática x 2 :

g 2 tan ⁡ x x 2 + 2   '

= 2 g tan ⁡ x x 2 + 2 g tan ⁡ x x 2 + 2 '

= 2 g tan ⁡ x x 2 + 2 g ' tan ⁡ x x 2 + 2 tan ⁡ x x 2 + 2 '

= 2 g tan ⁡ x x 2 + 2 g ' tan ⁡ x x 2 + 2 sec 2 ⁡ x x 2 + 2 x x 2 + 2 '

= 2 g tan ⁡ x x 2 + 2 g ' tan ⁡ x x 2 + 2 sec 2 ⁡ x x 2 + 2 x ' x 2 + 2 - x x 2 + 2 ' x 2 + 2 2

= 2 g tan ⁡ x x 2 + 2 g ' tan ⁡ x x 2 + 2 sec 2 ⁡ x x 2 + 2 2 - x 2 x 2 + 2 2

Passo 3

Então, a resposta giganteeeesca da derivada é:

f ' x = - sen ⁡ x g 2 tan ⁡ x x 2 + 2   + cos ⁡ x 2 g tan ⁡ x x 2 + 2 g ' tan ⁡ x x 2 + 2 sec 2 ⁡ x x 2 + 2 2 - x 2 x 2 + 2 2

Passo 4

Aplicando x = 0 :

f ' 0 = - sen ⁡ 0 g 2 tan ⁡ 0 0 + 2   + cos ⁡ 0 2 g tan ⁡ 0 0 + 2 g ' tan ⁡ 0 0 + 2 sec 2 ⁡ 0 0 + 2 2 - 0 0 + 2 2

f ' 0 = 0 g 2 tan ⁡ 0   + 1 2 g tan ⁡ 0 g ' tan ⁡ 0 sec 2 ⁡ 0 2 2 2

= 2 g 0 g ' 0 1 2 1 2  

= g 0 g ' 0

Passo 5

Ora, se g 0 = 1 2   e   g ' 0 = 1 , temos:

f ' 0 = g 0 g ' 0 = 1 2 1

f ' 0 = 1 2

Resposta

f ' 0 = 1 2

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