Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

UFRJ, Cálculo 4, P1 - 2013.1, Questão 1a

Classificar em convergente ou divergente a série numérica

n = 2 + 1 n n 2 - 1

Passo 1

Bom, você acha que essa série converge ou não? Tem muito “ n ” no denominador, não é? Parece que os seus termos vão muito “rápido” para zero.

Vamos desconsiderar por um momento o - 1 dentro da raiz. Sem ele, temos a seguinte série:

n = 2 + 1 n n 2 = n = 2 + 1 n 2

Uma p -série de p = 2 que converge. Pensamos logo em Teste da comparação, não é? Pois é, acontece que n n 2 - 1 < n 2 , logo:

1 n n 2 - 1 > 1 n 2

Então a série do problema possui termos maiores que os de uma série que converge, portanto, o Teste da comparação não vai adiantar para nada aqui.

Pensamos, então que, como as séries são muito parecidas, esse “ - 1 ” talvez não faça diferença na convergência da série no limite, com n muito grandes. Vamos, então, aplicar o Teste da comparação no limite com essas duas séries.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

lim n a n b n = lim n 1 n n 2 - 1 × n 2 =

= lim n n n 2 - 1 =

= lim n n n 1 - 1 / n 2 =

= lim n 1 1 - 1 / n 2 = 1 > 0

Como encontramos um número maior que zero, pelo Teste da comparação no limite, sabemos que ambas as séries convergem.

Resposta

A série converge.

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