Exercício 20. Verifique quais das séries abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

h) ∑ n = 0 ∞ 1 n 1 + 1 n ;

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada a série ∑ n = 0 ∞ 1 n 1 + 1 n e nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente...

Lembra como fazemos isso? 🤔

Nesse caso, podemos determinar a convergência da série a partir do teste da comparação no limite...

Para aplicar esse teste precisamos de uma outra série b n que sabemos se converge ou diverge

Dessa forma, fazemos

lim n → ∞ ⁡ a n b n = L

Se L for igual a uma constante ≠ 0 e ≠ ∞ , significa que a n e b n tem o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem) ...

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Para usarmos como comparação, vamos usar a série b n = 1 n em que pelas propriedades das P-Séries sabemos que diverge...

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 + 1 n 1 n → lim n → ∞ ⁡ n n 1 + 1 n

Simplificando...

lim n → ∞ ⁡ n n · n 1 n

Dividindo o numerador e o denominador por n

lim n → ∞ ⁡ n n n · n 1 n n

lim n → ∞ ⁡ 1 n 1 n = 1

Portanto, vemos que o limite de a n / b n é igual a 1 , portanto, podemos afirmar que ∑ n = 0 ∞ 1 n 1 + 1 n diverge.

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Diverge

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Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
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