Diga se as sequências são convergentes ou divergentes. Se convergir, encontre o limite

a )   a n = 3 - 0,3 - n

Passo 1

Oi, tudo certo por aí? Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

Para dizer se uma sequência diverge ou não, precisamos calcular o limite! Mas como assim??

Limite de uma sequência é o mesmo limite de uma função! Lembra que sequência só admite n inteiros positivos, certo?

Então se o limite da função (que tem a mesma cara de uma sequência que estamos analisando) existe e é um número, isso significa que nossa sequência (que leva em consideração muitos menos pontos em comparação a uma função - que leva tooodos os reais) é convergente!

Beleza?

A cara da nossa sequência é

a n = 3 - 0,3 - n

Então para verificar se essa sequência diverge ou não vamos seguir esses passos aqui:

  • Escrever uma função igualzinha a nossa sequência, só trocando n → x
  • Analisar o limite dessa função quando x → ∞  
  • Se o limite existir e for um número: então a sequência converge. Se o limite não existir ou for ± ∞ , então nossa sequência diverge.

é isso! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa sequência é

a n = 3 - 0,3 - n

E transformando para uma função temos

f x = 3 - 0,3 - x

Tranquilo até aqui? Podemos arrumar ela ainda mais um pouco

f x = 3 - 3 10 - x = 3 - 10 3 x

Agora sim! Podemos calcular o limite!

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de f ( x ) quando x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ 3 - 10 3 x

E agora?

O fator que depende de x é negativo, certo? E é uma função exponencial, pois x está no expoente! então precisamos olhar para a base: se for maior do que 1 temos uma função exponencial decrescente, e a parte em x irá a zero. Se a base for maior do que 1 , aí teremos uma exponencial crescente e essa função explode no infinito.

Nossa base é 10 3 > 1 , então temos uma função exponencial crescente, com coeficiente negativo. Isso significa que ela explode para - ∞ !

Encontramos que o limite não existe, ele explode para - ∞ ! Isso significa que nossa sequência é divergente

Ufa! Terminamos!

Bora treinar mais?

Resposta

d i v e r g e

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