Seja ( a n ) n   ∈   ℕ uma sequência tal que

l i m n → ∞ | a n | = 1

Em relação à série

∑ k = 1 ∞ a n n

é correto afirmar:

I . Se a série converge, então l i m n → ∞ | a n | = ∞ .

I I . Se a série converge, então l i m n → ∞ a n n = 0 .

I I I . A série converge.

I V . A série converge se, e somente se, l i m n → ∞ a n n = 0 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho?

O enunciado nos afirma que

l i m n → ∞ | a n | = 1

e, nos dá a seguinte série

∑ k = 1 ∞ a k n

Vamos precisar analisar cada uma das afirmações individualmente! E, então, encontrar a afirmativa correta! Vem comigo!

Passo 2

A primeira afirmativa diz que se a série converge, então temos que l i m n → ∞ | a n | = ∞ , será que isso realmente acontece? Saca só, temos que

l i m n → ∞ | a n | = l i m n → ∞ | a n | = 1

ou seja, esse limite é simplesmente 1 , independentemente se a série converge ou não! Vamos para a próxima afirmativa!

Passo 3

A segunda afirmativa indica que se a série é convergente, então temos o seguinte limite

L = l i m n → ∞ a n n = 0

Isso é verdade para toda e qualquer série, já que uma série divergente tem L ≠ 0 . Portanto, sim, uma série convergente tem L = 0 . O contrário não é verdade, no entanto. Tome cuidado com isso em outras questões! Essa é a alternativa correta! Mas, vamos dar uma olhada nas outras por completeza! Saca só!

Passo 4

A terceira afirmativa nos diz que a série converge. Mas a série converge em que condições? Só com o que nos é dado é difícil dizer algo, já que o limite

L = l i m n → ∞ a n n = 0

não garante a convergência! A última afirmativa é falsa também pela mesma razão, o limite acima não garante a convergência, n��s só podemos dizer que se L ≠ 0 , a série diverge, mas, em geral quando L = 0 , a série ainda pode divergir! A questão é isso! te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Afirmativa I I é correta!

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1