Decida se a série converge condicionalmente ou absolutamente ou diverge

∑ n = 1 ∞ 1 - n sen ⁡ 1 n

Passo 1

Para olharmos a convergência dessa série vamos começar vendo se ela é absolutamente convergente, ou seja, a convergência de

∑ n = 1 ∞ 1 - n sen ⁡ 1 n

Assim temos

a n = 1 - n sen ⁡ 1 n

Olhando para essa série é interessante começarmos usando o teste da divergência, vamos calcular o seu limite

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ 1 - n sen ⁡ 1 n

Vamos dar uma arrumada nisso

lim n → ∞ ⁡ 1 - n sen ⁡ 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 - sen ⁡ 1 n 1 / n

Eu fiz isso porque fazendo n → ∞ temos naquele seno o limite fundamental, que seria

lim a → 0 ⁡ sen ⁡ a a = 1

Assim como o cara dentro do seno é igual ao cara embaixo do seno vamos ter

lim n → ∞ ⁡ 1 - sen ⁡ 1 n 1 / n = 1 - 1 = 0

Então o teste da divergência não ajudou.

Passo 2

Vamos pensar em outra coisa, seria interessante tentar comparar essa série com uma p série, que é uma série que conhecemos, mas não sabemos qual, então vamos fazer a conta para uma p série qualquer e depois fazendo as contas vemos qual p séries podemos escolher.

Tentar comparar pelo teste da comparação não é algo fácil de fazer aqui, então vamos tentar usar o teste da comparação no limite dessa série com

∑ n = 1 ∞ 1 n p

Assim vamos ter

b n = 1 n p

Passo 3

Vamos agora aplicar o teste da comparação no limite com a n e b n , pelo teste da comparação no limite queremos

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 - n sen ⁡ 1 n 1 n p = lim n → ∞ ⁡ 1 - n sen ⁡ 1 n ∙ n p

Esse limite vai ficar dependendo do p , vamos começar considerando p > 0 , assim

lim n → ∞ ⁡ 1 - n sen ⁡ 1 n ∙ n p = 0 ∙ ∞

Isso é uma indeterminação, vamos fazer

lim n → ∞ ⁡ 1 - n sen ⁡ 1 n ∙ n p = lim n → ∞ ⁡ 1 - n sen ⁡ 1 n n - p = 0 0

Além disso vamos fazer a mudança

1 n = a

Isso vai facilitar nossas contas porque aquele seno fica mais agradável.

Assim temos

n → ∞ ,     e n t ã o ,     a → 0 +

Nosso limite vai ficar

lim a → 0 + ⁡ 1 - 1 a sen ⁡ a 1 a - p = lim a → 0 + ⁡ 1 - 1 a sen ⁡ a a p

Vamos juntar tudo e deixar aquele módulo do lado de fora

lim a → 0 + ⁡ 1 - 1 a sen ⁡ a a p = lim a → 0 + ⁡ 1 - 1 a sen ⁡ a a p = lim a → 0 + ⁡ 1 - 1 a sen ⁡ a a p

Então estamos interessados em

lim a → 0 + ⁡ 1 - 1 a sen ⁡ a a p

Vamos dar uma arrumada nisso

lim a → 0 + ⁡ 1 - 1 a sen ⁡ a a p = lim a → 0 + ⁡ a - sen ⁡ a a p + 1

E vamos ter

lim a → 0 + ⁡ a - sen ⁡ a a p + 1 = 0 - sen ⁡ 0 0 = 0 0

Assim podemos usar a regra de L’hopital

lim a → 0 + ⁡ a - sen ⁡ a a p + 1 = lim a → 0 + ⁡ a - sen ⁡ a ' a p + 1 ' = lim a → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ a p + 1 a p = 1 - cos ⁡ 0 0 = 1 - 1 0 = 0 0

Vamos aplicar L’Hospital de novo, lembrando que consideramos p > 0 então existe a derivada de a p

lim a → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ a p + 1 a p = lim a → 0 + ⁡ 1 - cos ⁡ a ' p + 1 a p ' = lim a → 0 + ⁡ sen ⁡ a p + 1 p a p - 1 =

sen ⁡ 0 p + 1 p . 0 p - 1 = 0 p + 1 p . 0 p - 1

Mas o nosso teste da comparação no limite precisa dar um número maior que 0 para dar certo, se tivermos p - 1 = 0 aquele limite ali de cima fica 0 , porque teríamos a 0 = 1 , e embaixo sobraria um número, mas queremos um número maior que 0 , então vamos fazer p - 1 > 0 , que assim continuamos tendo 0 no denominador

Assim o nosso limite vai ficar 0 / 0 , e temos que aplicar L’Hopital de novo

lim a → 0 + ⁡ sen ⁡ a p + 1 p a p - 1 = lim a → 0 + ⁡ sen ⁡ a ' p + 1 p a p - 1 ' = lim a → 0 + ⁡ cos ⁡ a p + 1 p p - 1 a p - 2 =

cos ⁡ 0 p + 1 p p - 1 0 p - 2 = 1 p + 1 p p - 1 0 p - 2

Caimos numa situação parecida, só que dessa vez nosso numeador é 1 , se nosso denominador for um número teríamos um número afinal, então vamos fazer

p - 2 = 0

Assim teremos

a 0 = 1

E vamos ter nosso limite sendo

1 p + 1 p p - 1

E isso é um número, assim a nossa série tem o mesmo comportamento que uma p série. Assim temos

p = 2

E

b n = 1 n 2

E o limite vai para

1 2 + 1 2 2 - 1 = 1 6

Lembrando que queremos o módulo disso.

Passo 4

Pelo teste da comparação no limite vimos que

lim n → ∞ ⁡ a n b n = 1 6 = 1 6 > 0

Assim a série dos termos em módulo tem o mesmo comportamento da p série com p = 2 e como essa p série converge, vamos ter que a nossa série converge absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1