Determine se a série converge ou diverge

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 + 1

Passo 1

Como sempre, vamos analisar os índices de n para ter um palpite sobre a convergência da série. Temos, no denominador n 2 , porém, dentro de uma raiz. Então, em termos práticos, é como se tivéssemos apenas n no denominador, o que torna essa série muito semelhante com a Série harmônica, que diverge.

Porém, temos o seguinte:

n 2 + 1 > n 2

1 n 2 + 1 < 1 n 2 = 1 n

Como a série que estamos estudando possui termos menores que os da Série Harmônica, não conseguimos aplicar o Teste da comparação aqui. Vamos, então, tentar a comparação no limite.

Passo 2

Para aplicar o teste, vamos usar a Série harmônica, que acabamos de mencionar:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Calculando o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 + 1 × n =

Colocando n 2 em evidência dentro da raiz vamos ter

= lim n → ∞ ⁡ n n 2 1 + 1 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n n 2 1 + 1 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ n n 1 + 1 n 2 =

Como, neste caso, estamos pegando n indo para ele vai ser sempre positivo, então

n 2 = n

Nosso limite vai ficar

= lim n → ∞ ⁡ n n 1 + 1 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n 2 = 1 > 0

Assim, pelo Teste da comparação no limite, mostramos que essa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1