(Capítulo 11.5 – Exercício 32) Para quais valores de p a serie e convergente? ∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n p

Passo 1

Faaaala galerinha!

Ó, nesse exercício temos a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n p

E aí queremos entender para quais valores de p essa série converge

Bom, como temos o termo - 1 n - 1 , essa é uma série alternada, e nada mais justo do que usar o Teste da Série Alternada, que diz que se uma série tiver o formato

∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n

Para que ela seja convergente, deve cumprir com esses dois requisitos:

1. b n ≥ b n + 1 ;

2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se ela não cumprir com um deles, ela diverge, fechou?

Então vamos encontrar quais são os valores de p que cumprem com esses requisitos

Passo 2

Temos a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n p

Comparando com ∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n , podemos falar que

b n = 1 n p

Vamos checar cada um dos pontos do Teste. Começando pelo fato que b n + 1 ≤ b n , isto é, checar se a nossa função é decrescente. Para a nossa questão,

b n + 1 = 1 n + 1 p

Como queremos que b n ≥ b n + 1 , temos

1 n p ≥ 1 n + 1 p

Como um denominador maior gera um resultado menor, queremos que o denominador n + 1 p seja maior do que n p . Isso vai acontecer para todo p ≥ 0 , então já temos uma pista sobre os valores de p , agora vamos para o segundo requisito blz?

Passo 3

No segundo requisito, queremos que o limite de b n quando n → ∞ seja 0:

lim n → ∞ ⁡ 1 n p = 0

Isso vai acontecer sempre que o n se mantiver no denominador, porque vamos ter 1 ∞ = 0

Porém, se o expoente for negativo, o n pode ir pro numerador, tipo: 1 n - 2 = n ²

E isso não daria 0, e sim

Portanto, mais uma vez temos que ter p ≥ 0

Logo, a série diverge quando p ≥ 0

Passo 4

Resposta

A série converge sempre que p > 0 .

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1