Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

Passo 1

Bom, a gente sempre deve fazer o teste da divergência antes de tentar qualquer outro teste (a não ser que a série envolve um fatorial ou seja muito complicado de calcular o limite), porque se o cara for divergente, a gente já mata a questão, ok? Você lembra o que diz o teste da divergência?

Relaxa, nada mais é que calcular o limite do termo geral da série, quando n → ∞ . Se esse limite for diferente de zero, a série diverge, e se ele for igual a zero, nada podemos concluir. Então bora fazer esse teste:

l i m n → ∞     n n + 1 l n   n   n   = l i m n → ∞   n l n n n + 1   = l i m n → ∞     1 +   l n   n   2 n l n n   = l i m n → ∞   1 2 n l n n   + l i m n → ∞   l n   n   2 n l n n  

0 + l i m n → ∞   l n n 2 n   = 0

Eita! Deu zero, então agora vamos para outro teste.

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Passo 2

Olha nosso termo geral:

a n = n n + 1 l n   n   n

Estamos procurando uma série com um termo geral b n para calcularmos o limite:

l i m n → ∞   a n b n   = C

Se esse C for um número maior que zero, teremos que ou ambas divergem ou ambas convergem. Então vamos em busca desse b n .

Você vai escolher esse cara da seguinte forma:

b n = l n   n   n

Perceba que esse é o termo geral de uma série divergente! Vamos usar esse fato mais tarde.

Passo 3

Agora a gente calcula o limite:

l i m n → ∞   n n + 1 l n l n   n   n l n l n   n   n   = l i m n → ∞   n n + 1 l n l n   n   n   = l i m n → ∞   n ( n + 1 )   l i m n → ∞     n l n ⁡ ( n )   = 1 . ∞ = ∞

Aparentemente, isso parece não dizer nada, mas tenho uma coisa pra te contar: quando esse limite do teste vai pra infinito e a série que você está comparando é divergente, isso significa que a sua série é divergente também.

Resposta

A série diverge.

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