8 - Determine se a série converge ou diverge.

x) ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1 converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para resolver esse problema podemos aplicar o teste do Limite-Comparação!

Para esse teste precisamos de uma série que já sabemos se converge ou diverge dada por ∑ n = 1 ∞ b n , assim fazemos

lim n → ∞ ⁡ a n b n = p

Se p ≠ 0 ou p ≠ ∞ , as séries a n e b n tem o mesmo comportamento... ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Mas se p = 0 ou p = ∞ não podemos afirmar nada.

Bora começar! 😉

Passo 2

Para o uso de comparação vamos ver se a série diverge comparando com uma série harmônica (series harmônicas sempre divergem)

b n = 1 n

Se a n = n n 2 + 1 , então lim n → ∞ ⁡ a n b n é

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 1 n → lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 + 1

Dividindo todos os termos por n 2 , temos

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 n 2 n 2 + 1 n 2

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n 2

Fazendo n tendendo ao infinito, o termo 1 n 2 vai tender a 0 já que temos um número relativamente pequeno sendo dividido por um número muito grande.

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 n 2 = 1 1 + 0 = 1

Assim vemos que p = 1 , logo, a n e b n tem o mesmo comportamento...

Ou seja, a série ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1 diverge!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Diverge pelo teste do Limite-Comparação.

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