Diga se as sequências são convergentes ou divergentes. Se convergir, encontre o limite

b )   a n = 2 n 1 + 4 n

Passo 1

Oi, tudo certo por aí? Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

Para dizer se uma sequência diverge ou não, precisamos calcular o limite! Mas como assim??

Limite de uma sequência é o mesmo limite de uma função! Lembra que sequência só admite n inteiros positivos, certo?

Então se o limite da função (que tem a mesma cara de uma sequência que estamos analisando) existe e é um número, isso significa que nossa sequência (que leva em consideração muitos menos pontos em comparação a uma função - que leva tooodos os reais) é convergente!

Beleza?

A cara da nossa sequência é

a n = 2 n 1 + 4 n

Então para verificar se essa sequência diverge ou não vamos seguir esses passos aqui:

  • Escrever uma função igualzinha a nossa sequência, só trocando n → x
  • Analisar o limite dessa função quando x → ∞  
  • Se o limite existir e for um número: então a sequência converge. Se o limite não existir ou for ± ∞ , então nossa sequência diverge.

é isso! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa sequência é

a n = 2 n 1 + 4 n

E transformando para uma função temos

f x = 2 x 1 + 4 x

Tranquilo até aqui?

Agora sim! Podemos calcular o limite!

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de f ( x ) quando x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ 2 x 1 + 4 x = ∞ ∞

Quando encontramos uma coisa do tipo 0 / 0 ou ∞ / ∞ precisamos aplicar a nossa boa e velha REGRA DE L’HOPITAL!

Essa regra nos diz que o limite de uma função é o mesmo que o limite das derivadas individuais do numerador e do denominador. Então a ideia aqui é derivar em cima, derivar embaixo e analisar novamente o limite no infinito!

lim x → ∞ ⁡ 2 x ' 1 + 4 x ' = lim x → ∞ ⁡ 2 4 = 1 2

Beleza? Olha que legal! Derivando, nosso limite independe de x !

Encontramos que o limite existe e tende a 1 / 2 ! Isso significa que nossa sequência é convergente e converge para

a n → 1 2

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

c o n v e r g e , 1 2

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Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
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Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1