9 - Determine se a série converge ou diverge.

h) ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + 2

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + 2 converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para resolver esse problema podemos aplicar o teste do Limite-Comparação!

Para esse teste precisamos de uma série que já sabemos se converge ou diverge dada por ∑ n = 1 ∞ b n , assim fazemos

lim n → ∞ ⁡ a n b n = L

Se L ≠ 0 ou L ≠ ∞ , as séries a n e b n tem o mesmo comportamento... ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Mas se L = 0 ou L = ∞ não podemos afirmar nada.

Bora começar! 😉

Passo 2

Para o uso de comparação vamos ver se a série diverge comparando com uma P-Série.

Uma P-Série é dada por ∑ n = 1 ∞ 1 n p , a partir dái podemos definir que se p > 1 a série converge, mas se p ≤ 1 a serie diverge.

Para esse caso, vamos escolher uma série convergente com p = 3 / 2

b n = 1 n 3 2 = 1 n 3

Se a n = 1 n 3 + 2 , então lim n → ∞ ⁡ a n b n é

lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 + 2 n 3 → lim n → ∞ ⁡ n 3 n 3 + 2

lim n → ∞ ⁡ n 3 n 3 + 2

Dividindo todos os termos por n 3 , temos

lim n → ∞ ⁡ n 3 n 3 n 3 n 3 + 2 n 3

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 2 n 3

Fazendo n tendendo ao infinito, o termo 2 n 3 vai tender a 0 já que temos um número relativamente pequeno sendo dividido por um número muito grande.

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 2 n 3 = 1 1 + 0 = 1

Assim vemos que L = 1 , logo, a n e b n tem o mesmo comportamento...

Ou seja, a série ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 + 2 converge pelo teste do Limite-Comparação!

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

Converge pelo teste do Limite-Comparação

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