4 . Das seguintes séries marque quantas divergem.

∑ n = 1 ∞ 2 n 5 / 3 + 2

∑ n = 1 ∞ 5 n 4 n 3 + 8 n 2 + 7

∑ n = 1 ∞ 3 n 8 n 2 + 5 n 20

Escolha uma opção:

a .   0

b .   1

c .   2

d .   3

Passo 1

Vamos junto resolver esse problema!

Temos então que verificar quais dessas séries divergem, então vamos atrás disso, vamos avaliar cada uma separadamente e ver o melhor método para cada uma,

Vem comigo!

Passo 2

Vamos começar com:

∑ n = 1 ∞ 2 n 5 / 3 + 2

Para sabermos se essa série converge ou não, podemos usar o teste da comparação ao nosso favor.

Uma das coisas que o teste diz é que se pegarmos uma série maior que a que a gente tem e ela convergir, logo limitando a nossa série por cima, e se acharmos outra série menor que a nossa e que converge ou mostrando que a nossa série é sempre positiva, a nossa série converge também.

Essa série é sempre maior que 0 já que n é sempre positivo, então ela é limitada inferiormente, então não tem como a nossa série divergi para o negativo.

Passo 3

Agora temos que pegar uma série maior que a nossa e que é convergente.

Nós podemos usar a seguinte:

∑ k = 1 + ∞ 1 n 2

Já que:

∑ k = 1 + ∞ 1 n 3 / 2 > ∑ k = 1 + ∞ 2 n 5 / 3 + 2

Essa série é maior que a nossa, pois o denominador dela cresce muito mais lentamente do que a que o enunciado deu, então ela acaba sendo maior.

E essa série converge, já que:

∑ p = 1 + ∞ 1 n p é convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1 .

Então a série que estamos usando converge já que p = 3 / 2 > 1 .

Então ela limita superiormente a série que o enunciado nos deu.

Logo a primeira série do enunciado converge.

Passo 4

Agora vamos avaliar a série:

∑ n = 1 ∞ 5 n 4 n 3 + 8 n 2 + 7

Para sabermos se essa série converge ou não podemos usar o teste de divergência que diz que:

Se lim n → ∞ ⁡ a n não existir ou se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 então a série ∑ n = 1 ∞ a n é divergente.

Vamos calcular esse limite então, temos:

lim n → ∞ ⁡ 5 n 4 n 3 + 8 n 2 + 7

⇒ lim n → ∞ ⁡ 5 n 4 n 3 1 + 8 1 n + 7 n 2

⇒ lim n → ∞ ⁡ 5 n 1 + 8 1 n + 7 n 2

Agora quando fazemos n → ∞ os termos 1 n e 1 n 2 vão a zero, mas ainda tem um termo n no numerador que faz com que esse limite vá ao infinito.

Então a nossa série diverge, já temos uma na conta.

Passo 5

Agora vamos para última

∑ n = 1 ∞ 3 n 8 n 2 + 5 n 20

Para essa vamos usar de novo o teste da comparação. Temos que pegar uma série maior que a nossa e que é convergente.

Nós podemos usar a seguinte:

∑ k = 1 + ∞ 3 n 8 5 n 20 = ∑ k = 1 + ∞ 3 5 n 12

Já que:

∑ k = 1 + ∞ 3 5 n 12 > ∑ n = 1 ∞ 3 n 8 n 2 + 5 n 20

Essa série é maior que a nossa, pois o denominador dela cresce muito mais lentamente do que a que o enunciado deu, então ela acaba sendo maior.

E essa série converge, já que:

∑ p = 1 + ∞ 1 n p é convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1 .

Então a série que estamos usando converge já que p = 12 > 1 .

Então ela limita superiormente a série que o enunciado nos deu.

Logo a primeira série do enunciado converge.

Então só uma das séries que avaliamos é divergente, logo a alternativa correta é a letra b .

Resposta

b .   1

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Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1