Em relação à série ∑ k = 1 ∞ k 2 + 1 5 k + k 6 3 , tem-se que:

  1. lim k → ∞ ⁡ k 2 + 1 5 k + k 6 3 =  
  2. A série:

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma série e pediu duas coisas

  • Na letra (a) pediu o limite do termo geral (termo geral é a expressão que está dentro do somatório, no nosso caso k 2 + 1 5 k + k 6 3 ) quando k → ∞ : aqui não tem muito mistério, tem que ter memória mesmo! Lembrar lá de cálculo 1! É só calcular o limite mesmo, usando todas as regrinhas que você já viu
  • E na letra (b) perguntou se a série diverge ou converge. Aqui precisamos achar qual teste vai confirmar o comportamento dessa série, e aqui que entra o truque sujo! Mas calma, vou te ajudar a identificar qual teste usar!

Vamos fazer passo a passo juntos?

Vamos lá!

Passo 2

Letra (a)

lim k → ∞ ⁡ k 2 + 1 5 k + k 6 3 = ∞ ∞  

Quando nos depararmos com uma coisa do tipo ∞ / ∞ ou 0 / 0 , isso significa que precisamos manipular a função para levantar essa indeterminação. E aqui vale todo tipo de truque sujo da vida! Mas calma, vou ajudar você!

No infinito, podemos desconsiderar aquele + 1 no numerador e aquele 5 k dentro da raiz. Os termos de potência k 2 e k 6 são muito maiores e tudo bem a gente desconsiderar

Sumindo com esses termos ficamos com o seguinte limite

lim k → ∞ ⁡ k 2 + 1 5 k + k 6 3 = lim k → ∞ ⁡ k 2 k 6 3 = lim k → ∞ ⁡ k 2 k 2 = 1

Não falei? Puro truque sujo! Na verdade, aquela indeterminação, no infinito some e dá lugar ao 1!

Beleza?

E já vou fazer uma observação que vai servir para ver a convergência ou divergência de uma série: se o limite no infinito do termo geral a k = k 2 + 1 5 k + k 6 3 dessa sequência for:

lim k → ∞ ⁡ a k ≠ 0 :       a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e lim k → ∞ ⁡ a k = 0   : n a d a   p o d e m o s   c o n c l u i r

Sendo assim, como o limite da nossa série foi UM que é diferente de zero, nossa série diverge!

E só! Acabou a questão!

Se encontrássemos 0 no limite, aí iríamos precisar aplicar algum teste de convergência para identificar o comportamento da série, mas isso fica para outro exercício!

Então a série é: divergente

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a )   1

b )   d i v e r g e n t e

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Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1