Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

Passo 1

Bom, a gente sempre deve fazer o teste da divergência antes de tentar qualquer outro teste (a não ser que a série envolva um fatorial ou seja muito complicado de calcular o limite), porque se o cara for divergente, a gente já mata a questão, ok? Você lembra o que diz o teste da divergência?

Relaxa, nada mais é que calcular o limite do termo geral da série, quando n → ∞ . Se esse limite for diferente de zero, a série diverge, e se ele for diferente de zero, nada podemos concluir. Então bora fazer esse teste:

lim n → ∞ ⁡ 1 n e 1 / n = 0

Eita! Deu zero, então agora vamos para outro teste.

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Passo 2

Olha nosso termo geral:

a n = 1 n e 1 / n

Estamos procurando uma série com um termo geral b n para calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = C

Se esse C for um número maior que zero, teremos que ou ambas divergem ou ambas convergem. Então vamos em busca desse b n .

Você vai escolher esse cara da seguinte forma:

Pega o termo de maior grau no numerador e divide pelo termo de maior grau no denominador (não precisa se preocupar com as constantes).

b n = 1 n

Passo 3

Agora a gente calcula o limite:

lim n → ∞ ⁡ 1 n e 1 / n 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 e 1 / n = 1

Logo, como a série ∑ 1 n diverge, pois é uma p-série com p = 1 (série harmônica), nossa série também diverge!

Resposta

A série diverge.

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