Em relação à série ∑ k = 1 ∞ 1 k ! , tem-se que:

  1. lim k → ∞ ⁡ 1 k ! =  
  2. A série:

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma série e pediu duas coisas

  • Na letra (a) pediu o limite do termo geral (termo geral é a expressão que está dentro do somatório) quando k → ∞ : aqui não tem muito mistério, tem que ter memória mesmo! Lembrar lá de cálculo 1! É só calcular o limite mesmo, usando todas as regrinhas que você já viu
  • E na letra (b) perguntou se a série diverge ou converge. Aqui precisamos achar qual teste vai confirmar o comportamento dessa série, e aqui que entra o truque sujo! Mas calma, vou te ajudar a identificar qual teste usar!

Vamos fazer passo a passo juntos?

Vamos lá!

Passo 2

Letra (a)

lim k → ∞ ⁡ 1 k ! =  

A função fatorial não é definida para o conjunto dos reais, só funciona para os naturais, o que é perfeito para nós! Isso porque k é um número inteiro e positivo.

o fatorial de um número n qualquer é:

n ! = n . n - 1 . n - 2 . n - 3 … 1

Por exemplo, se n = 4 :

4 ! = 4.3 . 2.1 = 24

Se n = 5 :

5 ! = 5.4 . 3.2 . 1 = 120

Fica bem evidente que quanto maior é n , maior é o fatorial desse número, certo?

Então podemos assumir que quando k → ∞ , k ! É um número muuuuito grande, e isso na matemática representa

Assim

lim k → ∞ ⁡ 1 k ! = 1 ∞ = 0

Beleza?

E já vou fazer uma observação que vai servir para ver a convergência ou divergência de uma série: se o limite no infinito do termo geral (no nosso caso a k = 1 k ! ) dessa sequência for:

lim k → ∞ ⁡ a k ≠ 0 :       a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e lim k → ∞ ⁡ a k = 0   : n a d a   p o d e m o s   c o n c l u i r

Sendo assim, como o limite da nossa série foi zero, ela pode convergir ou divergir. Isso significa que precisamos aplicar algum teste.

Passo 3

Agora vamos para letra (b).

Nossa série é

∑ k = 1 ∞ 1 k !

Como ela envolve o fatorial o teste indicado é o: teste da razão! Como vimos no passo anterior, o fatorial é um monte de multiplicações, então é bem possível que dê para cortar muita coisa!

Então se liga nessa dica: termo geral envolve fatorial, então tasca um teste da razão!

Vamos ao teste da razão:

lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = L

Agora temos três possibilidades para esse L :

s e   0 ≤ L < 1 ,   e n t ã o   ∑ a k   c o n v e r g e s e   L > 1 ,   e n t ã o   ∑ a k   d i v e r g e s e   L = 1 ,   n a d a   p o d e   s e r   c o n c l u í d o

Então a ideia agora é aplicar esse teste:

  • Calcular a k + 1 a k ;
  • Depois calcular o limite da expressão resultante no infinito;
  • Verificar onde o resultado do limite se encaixa (caso seja =1, vamos precisar de outro teste, mas alguma coisa me diz que vamos encontrar um bom resultado...)

Passo 4

O termo geral

a k = 1 k !

E agora o seu sucessor a k + 1

a k + 1 = 1 k + 1 !

E agora a razão a k + 1 a k :

a k + 1 a k = 1 k + 1 ! 1 k ! = 1 k + 1 ! . k ! 1 = k ! k + 1 !

Agora vamos abrir o maior fatorial até chegar no menor, ou seja, reescrever k + 1 ! Como k + 1 . k !

Lembra que o fatorial é uma sucessão de multiplicações e o objetivo aqui é cancelar o maior número de termos

a k + 1 a k = k ! k + 1 . k ! = 1 k + 1

Agora vamos calcular o limite no infinito dessa expressão

L = lim k → ∞ ⁡ a k + 1 a k = l i m k → ∞ 1 k + 1 = 1 ∞ = 0

Então temos que L = 0 , ou seja, a série

∑ k = 1 ∞ 1 k !

É convergente

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a )   0

b )   c o n v e r g e n t e

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1