Considere a série ∑ n = 1 ∞ n 3 n ! , selecione as respostas corretas

Escolhe uma ou mais

  1. Tomando b n = 1 n ! , temos lim n → ∞ ⁡ a n b n = ∞ , logo nada podemos concluir
  2. A igualdade ∑ n = 4 ∞ n 3 n ! = ∑ m = 1 ∞ ( m + 3 ) 3 ( m + 3 ) ! é verdadeira
  3. Usando os dois itens anteriores, podemos mostrar que ∑ n = 1 ∞ n 3 n !   é convergente

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa série aqui

∑ n = 1 ∞ n 3 n !

E pediu para resolvermos uma série de itens associados com o limite da razão de duas séries(e assim verificarmos se as afirmativas estão corretas ou não). E ao final perguntou se a nossa série converge ou diverge.

Mas como assim comparar duas coisas e concluir que elas convergem ou divergem?

Estamos falando do teste da comparação dos limites!

Ele fala exatamente sobre isso: sabendo o comportamento de uma série, podemos afirmar o comportamento de outra se compararmos os limites delas!

Em resumo o Teste da Comparação dos Limites é

Então a ideia é encontrar uma série que seja parecida com a série dada e fazer o limite quando n → ∞

Se o resultado for um número, então ambas as séries têm o mesmo comportamento!

Mas relaxa, vou fazer item por item, passo a passo com você!

Passo 2

Letra (a): A série dada foi essa aqui

∑ n = 1 ∞ n 3 n !

a n = n 3 n ! . precisamos de uma série para comparar com a nossa!

A ideia é pegar algum elemento da série que temos e associar com alguma série que conhecemos o comportamento!

Nesse item o problema dá a segunda série

∑ n = 1 ∞ 1 n !

E sabemos que ela é convergente! Então se o resultado do limite da razão for um número, sabemos o comportamento da nossa série!

E aí o problema pede para calcularmos o limite quando n → ∞ de a n / b n , então vamos lá

a n b n = n 3 n ! 1 n ! = n 3 n !   . n ! 1 = n 3

E avaliando o limite

lim n → ∞ ⁡ n 3 = ∞

Beleza?

Assim como o limite é indefinido (infinito) e não um número, com essas duas séries não podemos concluir nada sobre o comportamento da série dada! E essa primeira afirmação está correta!

Passo 3

Letra (b): Nosso próximo passo é verificar a igualdade

∑ n = 4 ∞ n 3 n ! = ∑ m = 1 ∞ ( m + 3 ) 3 ( m + 3 ) !

Note que agora nossa série não começa mais em n = 1 , mas sim em n = 4 ! Isso provoca um deslocamento no índice inicial, mas em nada interfere no comportamento da série!

Para fazer a comparação vamos fazer a seguinte mudança de variáveis

n = m + 3

E vamos trocar na nossa série (que agora começa em 4 )

∑ n = 4 ∞ n 3 n ! = ∑ m + 3 = 4 ∞ ( m + 3 ) 3 ( m + 3 ) ! = ∑ m = 1 ∞ ( m + 3 ) 3 ( m + 3 ) !

Olha só o que encontramos! Verificamos que a igualdade dada é verdadeira!

Agora #partiu resolver o último item?

Passo 4

Letra (c): agora o problema nos pede para usar os resultados dos dois últimos itens, concluir se a série dada inicialmente é divergente ou convergente

Então é isso que vamos fazer! Vamos usar a série deslocada da letra (b) no teste da comparação dos limites!

agora o termo geral que queremos saber o comportamento é

a m = ( m + 3 ) 3 ( m + 3 ) !

E comparando com a mesma série dada no item (b):

b m = 1 m !

A troca de índices é só para você associar a série deslocada com a que queremos saber o comportamento, mas no fim é a mesma tá bem? É só um truque sujo bem pequeno para que o limite dê certo!

a m b m = m + 3 3 m + 3 !   . m ! 1 = m + 3 3 m ! m + 3 m + 2 m + 1 m ! = m + 3 2 m + 2 m + 1

Agora vamos avaliar o limite

lim n → ∞ ⁡ m + 3 2 m + 2 m + 1 = lim n → ∞ ⁡ m 2 + 6 m + 9 m 2 + 3 m + 2

No infinito apenas os termos de maior expoente vão sobreviver

lim n → ∞ ⁡ m 2 + 6 m + 9 m 2 + 3 m + 2 = lim n → ∞ ⁡ m 2 m 2 = 1

Encontramos um número finito! Isso significa que as duas séries têm o mesmo comportamento! Assim a série

∑ n = 4 ∞ n 3 n ! = ∑ m = 1 ∞ ( m + 3 ) 3 ( m + 3 ) !

Converge! E a última letra também está correta!

Recapitulando: os itens corretos são

a , b , ( c )

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

E s t ã o   c o r r e t a s : a ,   b ,   ( c )

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Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1