4 – Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.

a) se ∑ n = 1 ∞ a n converge, então ∑ n = 1 ∞ a n 2 converge absolutamente.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nessa questão, temos que analisar a afirmação dada e dizer se é verdadeira ou falsa.

No item a) a afirmação que temos que analisar é que se uma série a n converge então a n 2 converge absolutamente.

O que você acha? a n 2 converge também?? 🤔

Para começar a provar nosso problema, temos que ter em mente uma propriedade do teste da divergência.

No caso, uma série dada por ∑ n = 1 ∞ a n diverge se lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0 mas se lim n → ∞ ⁡ a n = 0 não podemos afirmar nada. Porém se a n converge, obrigatoriamente lim n → ∞ ⁡ a n deve ser igual a 0 . Entende?

Agora podemos começar nosso problema!

Bora lá 😁

Passo 2

Para provar nossa teoria, podemos usar o teste de limite-comparação que nos diz que se lim n → ∞ ⁡ a n b n for igual a 0 ou igual a , a n e b n tem o mesmo comportamento, ou seja, ambas divergem ou ambas convergem.

Dessa forma se usarmos b n como a n 2 e a n como a n , vamos obter

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ a n a n 2

Simplificando a fração, temos

lim n → ∞ ⁡ a n a n 2 = lim n → ∞ ⁡ 1 a n

Como vimos no passo 1, se a n converge, então lim n → ∞ ⁡ a n = 0 , ou seja, a n tende a 0 quando n tende ao infinito.

Aplicando essa informação no limite de 1 a n , temos

lim n → ∞ ⁡ 1 a n = 1 0 +

Como temos uma constante sendo dividida por um número muito pequeno, então o resultado dessa fração tende a um valor muito grande, ou seja, ao infinito.

lim n → ∞ ⁡ 1 a n = ∞

Portanto, a n e a n 2 tem o mesmo comportamento, ou seja, ambas convergem.

Logo a n 2 converge absolutamente, ou seja, a afirmação do item a) é verdadeira!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Verdadeira.

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