Quais das sequências { a n } convergem e quais divergem ? Ache o limite de cada seqüência convergente :

d ) a n = ( 2 n + 1 n ) ( 1 - 1 n )

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que verificar se a sequência a n = ( 2 n + 1 n ) ( 1 - 1 n ) converge. Uma sequência é dita convergente se o limite abaixo existe:

l i m n → ∞ a n = L

então vamos calcular esse limite, para verificar se a sequência é convergente, e obter o seu valor caso ele exista. Então vamos lá!

Passo 2

Calculando o limite

l i m n → ∞ a n = l i m n → ∞ ( 2 n + 1 n ) ( 1 - 1 n )

colocando n em evidência no numerador do primeiro termo

l i m n → ∞   ( 2 n + 1 n ) ( 1 - 1 n ) = l i m n → ∞ ( n ( 2 + 1 n ) n ) ( 1 - 1 n ) = l i m n → ∞ ( 2 + 1 n ) ( 1 - 1 n )

lembrando que o limite da soma é a soma dos limites, assim como o do produto:

l i m n → ∞ ( 2 + 1 n ) ( 1 - 1 n ) = ( l i m n → ∞ 2 + l i m n → ∞ 1 n ) ( l i m n → ∞ 1 - l i m n → ∞ 1 n )

Passo 3

Agora, tomando o limite de n - > ∞

( l i m n → ∞ 2 + l i m n → ∞ 1 n ) ( l i m n → ∞ 1 - l i m n → ∞ 1 n ) = ( 2 + 1 ∞ ) ( 1 - 1 ∞ ) = ( 2 + 0 ) ( 1 - 0 ) = 2

l i m n → ∞ a n =   2 .

Assim, temos que a sequência a n = ( 2 n + 1 n ) ( 1 - 1 n ) é convergente e seu limite é L = 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

A sequência a n = ( 2 n + 1 n ) ( 1 - 1 n ) é convergente e seu limite é L = 2 .

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