(Miscelânea) Quais das séries abaixo convergem e quais divergem? Justifique suas respostas. (Observação: em alguns casos pode existir mais de uma maneira de determinar a convergência ou divergência da série.)

g)

∑ n = 2 ∞ 1 n n 2 - 1

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 2 ∞ 1 n n 2 - 1 converge ou diverge.

Aqui podemos utilizar o Teste da Comparação no Limite.

Então... Para usar o Teste da Comparação no Limite, precisamos comparar a série dada com uma menor ou maior, dividindo a que temos por uma pela outra série já conhecida.

Dessa forma, se o resultado do limite for uma constante, então ou ambas as séries convergem ou ambas divergem (com base na série que conhecemos).

Nesse caso, vamos comparar com a seguinte série divergente:

∑ n = 1 ∞ 1 n

Não entendeu?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Assim, devemos fazer o seguinte limite (comparando com a série harmônica, que é divergente):

lim n → ∞ ⁡ 1 n n 2 - 1 1 n =

= lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 - 1 ∴

= 0

Como o resultado do limite é menor que 1 , então podemos comparar as duas séries.

Como a série ∑ n = 1 ∞ 1 n é divergente, então a série ∑ n = 2 ∞ 1 n n 2 - 1 também é divergente!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série diverge

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Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1