1 – Teste a convergência ou divergência das séries, mencione o teste utilizado.

d) ∑ 5 + 2 n 1 + n 2 2

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Essa questão nos deu uma série dada por a n = 5 + 2 n 1 + n 2 2 e nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge.

Pra isso, temos que usar algum teste que nos ajude a determinar a respeito dessa convergência. Analisando a série vemos que ela é composta por uma fração de polinômios. No numerador o polinômio é de ordem 1 e no denominador é de ordem 4 então certamente se usarmos o teste da divergência não vamos ter um resultado.

Tem ideia de qual teste podemos utilizar? 🤔

Quando nossa série é uma fração entre polinômios, é interessante usarmos o teste do limite-comparação.

Esse teste consiste em usarmos uma outra série b n que já sabemos se diverge ou converge e calcular o limite de

lim n → ∞ ⁡ a n b n = L

Se L for diferente de 0 e de , a n e b n tem o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem). Porém se L for igual a 0 ou igual a , não podemos afirmar nada.

Interessante, não é? 😁

Passo 2

Esse teste é muito interessante pois podemos usar série simples para b n , como por exemplo as p-séries.

As p-séries tem a seguinte cara: ∑ 1 n p .

Se p for maior que 1 a série converge, se p for menor ou igual a 1 , a serie diverge.

Então para b n , vamos usar uma p-série convergente inicialmente para ver se a n converge.

b n = 1 n 3

Então substituindo a n e b n no limite, temos

lim n → ∞ ⁡ a n b n

lim n → ∞ ⁡ 5 + 2 n 1 + n 2 2 1 n 3

Organizando a n

lim n → ∞ ⁡ 5 + 2 n n 4 + 2 n 2 + 1 1 n 3

Simplificando fazendo os extremos pelos meios

lim n → ∞ ⁡ 5 + 2 n n 3 n 4 + 2 n 2 + 1

lim n → ∞ ⁡ 5 n 3 + 2 n 4 n 4 + 2 n 2 + 1

Se tentarmos substituir n por , iriamos cair em uma indeterminação ∞ ∞ .

Então vamos dividir o numerador e o denominador pela variável de maior ordem, no caso, n 4 .

lim n → ∞ ⁡ 5 n 3 + 2 n 4 n 4 n 4 + 2 n 2 + 1 n 4

lim n → ∞ ⁡ 5 n 3 n 4 + 2 n 4 n 4 n 4 n 4 + 2 n 2 n 4 + 1 n 4

Simplificando

lim n → ∞ ⁡ 5 n + 2 1 + 2 n 2 + 1 n 4

Se substituirmos n por agora, podemos observar que 5 n , 2 n 2 e 1 n 4 vão tender a 0 , pois o que estamos fazendo é dividir um número muito pequeno por um número muuuito grande.

lim n → ∞ ⁡ 0 + 2 1 + 0 + 0

lim n → ∞ ⁡ 2 = 2

Como o limite de uma constante é a própria constante, temos que pelo teste que escolhemos, o limite resultou em 2 , ou seja, diferente de 0 e de , logo, a n e b n tem o mesmo comportamento!

Se b n converge, a n também converge!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Converge pelo teste do limite-comparação.

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