4 – Decida se a afirmação dada é (sempre) verdadeira ou (às vezes) falsa. Justifique sua resposta dando um argumento lógico matemático ou um contra-exemplo.

b) A sequência b n : b n = n π - cos ⁡ n 9 - n 3 converge.

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nessa questão temos que julgar uma afirmação, dizendo se é verdadeira ou falsa e provar com um argumento matemático ou um exemplo que prove o contrário.

Nesse cabo, a afirmação é que a sequência b n = n π - cos ⁡ n 9 - n 3 converge.

Tem ideia de como ver se b n converge ou diverge? 🤔🤔

No caso de sequências, suas convergências são obtidas pelo limite de b n quando n tende ao infinito. Assim caso o resultado for um número constante, a sequência converge.

Entendeu? Bora ver na prática! 😉

Passo 2

No caso, o limite de b n para n tendendo ao infinito, é igual a

lim n → ∞ ⁡ n π - cos ⁡ n 9 - n 3

Para simplificar a fração, podemos dividir o numerador e o denominador por n 3

lim n → ∞ ⁡ n n 3 π - cos ⁡ n 9 - n 3 n 3

Simplificando um pouco mais, temos

lim n → ∞ ⁡ n n 3 π - cos ⁡ n 9 n 3 - n 3 n 3 = lim n → ∞ ⁡ 1 n 2 π - cos ⁡ n 9 n 3 - 1

Como sabemos, uma constante dividida por um número muito grande que tende ao infinito resulta em um número muito pequeno que tende a 0 .

Dessa forma 1 n 2 e 9 n 3 tende a 0 muito rápido, concorda?

lim n → ∞ ⁡ 0 π - cos ⁡ ∞ 0 - 1

Como 0 multiplicado por π - cos ⁡ ∞ resulta em 0 já que π é uma constante e cos ⁡ ∞ é limitado entre - 1,1 , então

lim n → ∞ ⁡ 0 1 = 0

Assim provamos que b n é convergente e converge para 0 quando n tende ao infinito!

Portanto, a afirmação b) é verdadeira!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Verdadeiro

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