Considere a série ∑ n = 1 ∞ 3 n + 5 n 2 n , selecione a resposta correta

  1. A série é divergente por comparação com ∑ n = 1 ∞ 1   n 2 n
  2. A série é convergente por comparação com ∑ n = 1 ∞ 1   2 n
  3. A série é convergente por comparação com ∑ n = 1 ∞ 1   n
  4. A série é divergente por comparação com ∑ n = 1 ∞ 1   2 n

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema começa nos dando essa série aqui

∑ n = 1 ∞ 3 n + 5 n 2 n

E pediu para dizermos se ela é convergente ou divergente, e com o que comparamos para tirar tal conclusão

Mas como assim comparar duas coisas e concluir que elas convergem ou divergem?

Estamos falando do teste da comparação dos limites!

Ele fala exatamente sobre isso: sabendo o comportamento de uma série, podemos afirmar o comportamento de outra se compararmos os limites delas!

Em resumo o Teste da Comparação dos Limites é

Então a ideia é encontrar uma série que seja parecida com a série dada e fazer o limite quando n → ∞

Se o resultado for um número, então ambas as séries têm o mesmo comportamento!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A série dada foi essa aqui

∑ n = 1 ∞ 3 n + 5 n 2 n

a n = 3 n + 5 n 2 n . precisamos de uma série para comparar com a nossa!

A ideia é pegar algum elemento da série que temos e associar com alguma série que conhecemos o comportamento!

Você vê aquele 1 2 n dando sopa? Então é com uma série assim que vamos comparar! Sabemos que

∑ n = 1 ∞ 1 2 n

É uma série convergente, pois é do tipo série geométrica com razão menor do que 1

∑ n = 1 ∞ q n ,   q < 1

Beleza?

Assim nosso b n = 1 2 n

O teste da comparação dos limites nos diz para calcular o limite de a n / b n , então antes de mais nada vamos calcular essa razão

a n b n = 3 n + 5 n 2 n 1 2 n = 3 n + 5 n 2 n ⋅ 2 n 1 = 3 n + 5 n

Agora é #partiu aplicar o teste!

Passo 3

Nosso próximo passo é calcular o limite da razão a n b n quando n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 5 n = ∞ ∞ ⏝ L ' H o p i t a l

Aplicando a regra de L’hopital e avaliando novamente o limite temos

lim n → ∞ ⁡ 3 n + 5 n = lim n → ∞ ⁡ 3 n + 5 ' n ' = lim n → ∞ ⁡ 3 1 = 3 > 0

Olha só o que encontramos! Um número finito positivo!

Pelo teste da comparação dos limites, caso seja encontrado um valor finito e positivo, então ambas as séries possuem o mesmo comportamento

Como a série que comparamos é convergente, então concluímos que

∑ n = 1 ∞ 3 n + 5 n 2 n

É convergente por comparação com ∑ n = 1 ∞ 1 2 n .

E a alternativa que nos diz isso é a (b)

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

( b )

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Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1