9 - Determine se a série converge ou diverge.

a) ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + n 3

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + n 3 converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para resolver esse problema podemos aplicar o teste do Limite-Comparação!

Para esse teste precisamos de uma série que já sabemos se converge ou diverge dada por ∑ n = 1 ∞ b n , assim fazemos

lim n → ∞ ⁡ a n b n = L

Se L ≠ 0 ou L ≠ ∞ , as séries a n e b n tem o mesmo comportamento... ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Mas se L = 0 ou L = ∞ não podemos afirmar nada.

Bora começar! 😉

Passo 2

Para o uso de comparação vamos ver se a série diverge comparando com uma p-série.

As p-séries são dadas por b n = 1 n p e se p ≤ 1 a série diverge e se p > 1 a série converge.

Nesse caso vamos usar p = 1 2

b n = 1 n 1 2 = 1 n

Se a n = 1 2 n + n 3 , então lim n → ∞ ⁡ a n b n é

lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + n 3 1 n → lim n → ∞ ⁡ n 2 n + n 3

Dividindo todos os termos por n , temos

lim n → ∞ ⁡ n n 2 n n + n 3 n

lim n → ∞ ⁡ 1 2 + 1 n 6

Fazendo n tendendo ao infinito, o termo 1 n 6 vai tender a 0 já que temos um número relativamente pequeno sendo dividido por um número muito grande.

lim n → ∞ ⁡ 1 2 + 1 n 6 = 1 2 + 0 = 1 2

Assim vemos que L = 1 2 , logo, a n e b n tem o mesmo comportamento...

Ou seja, a série ∑ n = 1 ∞ 1 2 n + n 3 diverge!

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

Diverge pelo teste do Limite-Comparação.

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