3 – Quais das seguintes séries numéricas convergem e quais divergem? Justifique sua resposta.

b) ∑ n = 1 ∞ n n 2 + 1 .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema queremos obter a convergência da série, ou seja, temos que mostrar se a série converge ou diverge.

Lembra como fazemos isso? 🤔

Nesses casos, temos que analisar a série que foi dada e tentar ver alguma característica que poderá nos auxiliar a escolher o melhor método que podemos usar pra obter a convergência da série.

Se isso não acontecer, o que temos que fazer é partir para a tentativa e erro...

Bora lá! 😁

Passo 2

Nesse caso, podemos pular o teste da divergência pois no denominador da série o polinômio é de ordem 2 e no numerador é de ordem ½ . Então para n → ∞ , a n vai a 0 .

Para resolver esse problema, vamos apelar para o teste de limite-comparação.

Nesse teste, se tivermos uma segunda série ∑ n = 1 ∞ b n em que a convergência de b n é conhecida, aplicamos

lim n → ∞ ⁡ a n b n = P

Se P ≠ 0 e P ≠ ∞ , é porque as duas séries tem o mesmo comportamento, ou seja, ambas convergem ou ambas divergem. Mas se P = 0 ou P = ∞ , não podemos afirmar nada.

Para o teste, vamos usar o modelo mais simples, as p-séries! Sabemos que uma p-série é dada por ∑ n = 1 ∞ 1 n p , se p > 1 a série converge, se p ≤ 1 a série diverge.

Dito isso, vamos usar p como 3 / 2 , que como é maior que 1 , essa série vai convergir.

b n = 1 n 3 / 2

Aplicando o teste...

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 1 n 3 / 2

lim n → ∞ ⁡ n n 3 / 2 n 2 + 1

lim n → ∞ ⁡ n n 3 n 2 + 1

Simplificando...

lim n → ∞ ⁡ n n 3 n 2 + 1 = lim n → ∞ ⁡ n 4 n 2 + 1

lim n → ∞ ⁡ n 2 n 2 + 1

Por fim, dividindo em cima e embaixo por n 2 , temos

lim n → ∞ ⁡ n 2 / n 2 n 2 / n 2 + 1 / n 2

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 / n 2

Quando n tende ao infinito o termo 1 / n 2 tende a 0 , portanto

lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 1 / n 2 = 1

Como o limite de a n / b n foi direrente de 0 e de e b n converge, então a n também converge!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Converge pelo teste de limite-comparação

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