Use o Teste da Comparação no Limite para achar quais das séries convergem e quais divergem:

c)

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 3 n 3

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para dizer se a série ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 3 n 3 converge ou diverge pelo Teste da Comparação no Limite.

Então... Para usar o Teste da Comparação no Limite, precisamos comparar a série dada com uma menor ou maior, dividindo a que temos por uma pela outra série já conhecida.

Dessa forma, se o resultado do limite for uma constante, então ou ambas as séries convergem ou ambas divergem (com base na série que conhecemos).

Nesse caso, vamos comparar com a seguinte série convergente:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Não entendeu?? Então bora junto!! 😉

Passo 2

Assim, devemos fazer o seguinte limite:

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 3 n 3 1 n 2 =

= lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 3 n

Como estamos vendo uma indeterminação do tipo ∞ ∞ , podemos aplicar L’Hospital:

= lim n → ∞ ⁡ 3 ln 2 ⁡ n n

Aplicando novamente L’Hospital, temos:

= lim n → ∞ ⁡ 6 ln ⁡ n n

L’Hospital mais uma vez:

= lim n → ∞ ⁡ 6 / x 1 ∴

= 0

Dessa forma, a série converge!!

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

A série converge

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