Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

Passo 1

Bom, a gente sempre deve fazer o teste da divergência antes de tentar qualquer outro teste (a não ser que a série envolva um fatorial ou seja muito complicado de calcular o limite), porque se o cara for divergente, a gente já mata a questão, ok? Você lembra o que diz o teste da divergência?

Relaxa, nada mais é que calcular o limite do termo geral da série, quando n → ∞ . Se esse limite for diferente de zero, a série diverge, e se ele for diferente de zero, nada podemos concluir. Então bora fazer esse teste:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 2 n 2 + 3 2 = lim n → ∞ ⁡ 4 n 4 n 4 + 12 n 2 + 9 = lim n → ∞ ⁡ 1 n 3 + 3 n + 9 / 4 n = 0

Eita! Deu zero, então agora vamos para outro teste.

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Passo 2

O ideal quando você se depara com polinômios é usar o teste da comparação no limite. Olha nosso termo geral:

a n = 4 n 2 n 2 + 3 2 = 4 n 4 n 4 + 12 n 2 + 9

Estamos procurando uma série com um termo geral b n para calcularmos o limite:

lim n → ∞ ⁡ a n b n = C

Se esse C for um número maior que zero, teremos que ou ambas divergem ou ambas convergem. Então vamos em busca desse b n .

Você vai escolher esse cara da seguinte forma:

Pega o termo de maior grau no numerador e divide pelo termo de maior grau no denominador (não precisa se preocupar com as constantes).

b n = n n 4 = 1 n 3

Passo 3

Agora a gente calcula o limite:

lim n → ∞ ⁡ 4 n 4 n 4 + 12 n 2 + 9 1 n 3 = lim n → ∞ ⁡ 4 n 4 4 n 4 + 12 n 2 + 9

Dividindo todo mundo por 4 n 4 :

lim n → ∞ ⁡ 4 n 4 4 n 4 + 12 n 2 + 9 = lim n → ∞ ⁡ 1 1 + 3 n 2 + 9 4 n 4 = 1 > 0

Logo, como a série ∑ 1 n 3 converge, pois é uma p-série com p > 1 , nossa série também converge!

Resposta

A série converge.

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