9 - Determine se a série converge ou diverge.

b) ∑ n = 1 ∞ 3 n + n

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 1 ∞ 3 n + n converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para resolver esse problema podemos aplicar o teste do Limite-Comparação!

Para esse teste precisamos de uma série que já sabemos se converge ou diverge dada por ∑ n = 1 ∞ b n , assim fazemos

lim n → ∞ ⁡ a n b n = L

Se L ≠ 0 ou L ≠ ∞ , as séries a n e b n tem o mesmo comportamento... ou seja, ambas convergem ou ambas divergem.

Mas se L = 0 ou L = ∞ não podemos afirmar nada.

Bora começar! 😉

Passo 2

Para o uso de comparação vamos ver se a série diverge comparando com uma série harmônica.

b n = 1 n

Se a n = 3 n + n , então lim n → ∞ ⁡ a n b n é

lim n → ∞ ⁡ 3 n + n 1 n → lim n → ∞ ⁡ 3 n n + n

Dividindo todos os termos por n , temos

lim n → ∞ ⁡ 3 n n n n + n n

lim n → ∞ ⁡ 3 1 + 1 n

Fazendo n tendendo ao infinito, o termo 1 n vai tender a 0 já que temos um número relativamente pequeno sendo dividido por um número muito grande.

lim n → ∞ ⁡ 3 1 + 1 n = 3 1 + 0 = 3

Assim vemos que L = 3 , logo, a n e b n tem o mesmo comportamento...

Ou seja, a série ∑ n = 1 ∞ 3 n + n diverge pelo teste do Limite-Comparação!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Diverge pelo teste do Limite-Comparação

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