Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação no Limite

Questão 3) Determine, em cada item, se a série é convergente ou divergente, determinando também qual é o modo de convergência. Especifique os testes utilizados.

c)

∑ n = 1 ∞ sin ⁡ 1 n n

Passo 1

Bem, a primeira coisa que temos que fazer em séries de frações assim é averiguar se o termo geral está indo a 0 , pois se não nem precisa de fazer conta, afinal ela divergirá direto:

lim n → ∞ ⁡ sin ⁡ 1 n n

O seno é uma função delimitada entre - 1 e 1 e a fração vai à 0 . Logo, podemos afirmar que esse limite vai também a

lim n → ∞ ⁡ sin ⁡ 1 n n = 0

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Passo 2

Ótimo então a série pode ou não convergir. Temos que encontrar o melhor método de averiguar isso.

Bem, eu estou muito desconfiado que essa série converge, pois eu sei que o seno quando o argumento está próximo de 0 , podemos provar que...

sin ⁡ 1 n ≤ 1 n

Então...

∑ n = 1 ∞ sin ⁡ 1 n n ≤ ∑ n = 1 ∞ 1 n n =

∑ n = 1 ∞ 1 n n

E essa série converge, pois é uma série p com o p > 1 ...

∑ n = 1 ∞ 1 n p = ∑ n = 1 ∞ 1 n 3 2

Então a série de baixo converge também...

∑ n = 1 ∞ sin ⁡ 1 n n         →           c o n v e r g e

Mas essa comparação embora esteja certa, é meio chata de provar que é verdadeira e alguns professores podem não gostar sem uma prova completa. Então vou te mostrar uma solução alternativa.

Passo 3

Já que eu sei que converge, mas não estou muito seguro da comparação, então façamos a comparação no limite. E vamos compara com a série

∑ n = 1 ∞ 1 n n

Essa comparação fala que se o limite

lim n → ∞ ⁡ a n b n

For maior que 0 e um número real (não vai ao infinito), então ambas convergem ou divergem.

a n pode ser o termo da série que queremos...

∑ n = 1 ∞ sin ⁡ 1 n n = ∑ n = 1 ∞ a n         →                     a n = sin ⁡ 1 n n

Enquanto que o b n é o termo da série que queremos comparar...

∑ n = 1 ∞ 1 n n = ∑ n = 1 ∞ b n         →                   b n = 1 n n

Então o limite vai ficar sendo...

lim n → ∞ ⁡ a n b n = lim n → ∞ ⁡ sin ⁡ 1 n n 1 n n = lim n → ∞ ⁡ sin ⁡ 1 n 1 n

Veja que quando n → ∞ então 1 / n       →     0 . Então podemos fazer uma mudança...

x = 1 n     →             lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x

Quem é esse limite? É o limite fundamental trigonométrico e vale...

lim x → 0 ⁡ sin ⁡ x x = 1

Então...

lim n → ∞ ⁡ a n b n = 1 > 0

Como o limite foi um número diferente de 0 , e a série de b n converge, então Σ a n converge com certeza, sacou?

Passo 4

Ahhh! E se você perceber, a série

∑ n = 1 ∞ sin ⁡ 1 n n

Já é formada por termos positivos, afinal o seno é positiva para termos positivos próximos de 0 e o denominador também é positivo!

Então não faz diferença se colocarmos ou não o módulo...

∑ n = 1 ∞ sin ⁡ 1 n n = ∑ n = 1 ∞ sin ⁡ 1 n n

Como a série sem módulo converge, a com módulo também, então dizemos ela converge absolutamente.

Resposta

Converge absolutamente pelo método da comparação ou pela comparação no limite.

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