Exercício 20. Verifique quais das séries abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

a) ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 4 ;

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema foi dada uma serie e temos que determinar se essa série converge ou diverge!

Tem ideia de como fazer isso? 🤔

Nesse caso, podemos determinar a convergência da serie a partir do teste da comparação no limite...

Para aplicar esse teste precisamos de uma outra série b n que sabemos se converge ou diverge

Dessa forma, fazemos

lim n → ∞ ⁡ a n b n = L

Se L for igual a uma constante ≠ 0 e ≠ ∞ , significa que a n e b n tem o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem) ...

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Para usarmos como comparação, vamos usar a série b n = 1 n 2 em que pelas propriedades das P-Séries sabemos que converge...

lim n → ∞ ⁡ n - 1 n 3 + 4 1 n 2 → lim n → ∞ ⁡ n 2 n - 1 n 3 + 4

lim n → ∞ ⁡ n 3 - n 2 n 3 + 4

Dividindo o numerador e o denominador por n 3

lim n → ∞ ⁡ n 3 n 3 - n 2 n 3 n 3 n 3 + 4 n 3

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n 1 + 4 n 3

Fazendo n → ∞ vemos que os termos 1 n e 4 n 3 tendem a 0 , logo

lim n → ∞ ⁡ 1 - 1 n 1 + 4 n 3 = 1

Portanto, vemos que a série converge!

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

Converge

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