Verifique se as séries convergem ou divergem.

c ) ∑ n = 1 ∞ n 5 n 6 - 1    

Passo 1

Faaaala pessoal, tudo certo por aí? Essa série parece espinhosa, mas vou ajudar você aqui! Vamos olhar ela com mais carinho

∑ n = 1 ∞ n 5 n 6 - 1  

No infinito, quais termos sobrevivem? Só os de maior expoente né?

n 5 n 6 - 1   ~ n 5 n 6 ~ 1 n

Então é isso!

É isso o que você deve estar se perguntando... com essa aproximação podemos identificar uma série que mais se assemelha com a que temos, e assim poder comparar. Mas como assim??

Quando temos uma série que não se “encaixa” logo de cara com alguma outra, você pode optar por analisar o limite da razão de duas séries, sendo que uma delas você conhece o comportamento e a outra é a que você quer analisar.

Chamamos esse teste de: teste da comparação dos limites

Digamos uma série b n com um determinado comportamento. Vamos fazer

lim n → ∞ ⁡ a n b n = C

Temos duas opções de resultado

  • Se C > 0 , então ambas as séries têm o mesmo comportamento
  • C = 0 nada podemos afirmar!

Então é isso! Vamos analisar a série que a nossa série se parece no infinito e aplicar o teste da comparação!

Beleza?

é isso! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa série é

a n = ∑ n = 1 ∞ n 5 n 6 - 1  

E no infinito temos que seu comportamento é

b n = ∑ 1 n

Que é uma p-série com p = 1 e portanto divergente! Então ao fazermos a razão a n / b n e avaliarmos o limite, vamos poder identificar o comportamento da nossa série!

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de a n / b n quando n → ∞ :

lim n → ∞ ⁡ n 5 n 6 - 1   1 n = lim n → ∞ ⁡ n 5 n 6 - 1   . n 1

lim n → ∞ ⁡ n 6 n 6 - 1

No infinito apenas os termos de maior expoente vão sobreviver, então

~ lim n → ∞ ⁡ n 6 n 6 = lim n → ∞ ⁡ 1 = 1 > 0

Beleza? Isso significa que ambas as séries tem o mesmo comportamento!

Como a série que comparamos é divergente, então nossa série

∑ n = 1 ∞ n 5 n 6 - 1  

Também diverge!

Partiu treinar mais?

Resposta

d i v e r g e n t e

Exercícios de Livros Relacionados

Teste a convergência ou divergência das séries.sum_(n = 1)^(oo) (root(n)(2) - 1)
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1