Em relação à sequência s n = ∑ k = 1 n 1 2 k + 2 é correto dizer:

Escolha uma ou mais:

  1. É crescente
  2. É limitada inferiormente por t n = ∑ k = 1 n 1 4 k e lim n → ∞ ⁡ t n = ∞ , logo diverge.
  3. É limitada superiormente por ∑ k = 1 n 1 2 k 2 , logo converge.
  4. Converge a zero.
  5. É limitada superiormente por t n = ∑ k = 1 n 1 2 k , logo diverge

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma sequência s n e perguntou qual (ou quais) das afirmativas são verdadeiras. Vamos analisar uma por uma?

Afirmativa I:

É crescente

Para identificarmos se uma sequência é crescente ou não, precisamos identificar se os termos dessa sequência vão aumentando ou diminuindo... e para isso vamos olhar para as somas parciais. Mas como assim?

Nossa sequência tem a ver com um somatório, então cada vez que n aumenta, vamos somar mais um termo para ter nosso elemento da sequência

O primeiro termo dessa sequência é quando só temos o primeiro termo, já que o somatório começa em k = 1 , aí

s 1 = 1 2.1 + 2 = 1 4 = 0,25

O próximo termo vai ser:

s 2 = ∑ k = 1 2 1 2 k + 2

Isto é, temos a soma de dois termos: com k = 1 e k = 2 :

s 2 = 1 4 + 1 6 = 0,41

E o terceiro termo? Bom, vai ser a soma de três termos: com k = 1 ,   2   e k = 3 :

s 3 = 1 4 + 1 6 + 1 8 = 0,54

Beleza?

Dizemos que uma sequência é crescente quando s n + 1 > s n

Agora vamos ver se a série que o problema nos dá é crescente

As somas parciais que achamos até agora são:

s 1 = 0,25

s 2 = 0,41

s 3 = 0,54

Então podemos imaginar que s 4 vá ser maior, pois vamos adicionar mais um termo na soma

Sendo assim essa afirmativa está correta, essa sequência é sim crescente

Tranquilo?

Passo 2

Agora vamos ver a segunda afirmativa

É limitada inferiormente por t n = ∑ k = 1 n 1 4 k e lim n → ∞ ⁡ t n = ∞ , logo diverge.

Uma sequência é limitada de duas formas:

  • Limitada superiormente quando os termos da sequência não atingem um valor maior do que um determinado valor
  • Limitada inferiormente quando os termos da sequência não atingem um valor menor do que um certo número

No nosso caso, vemos que ela é limitada inferiormente, pois o valor mais baixo que vamos obter é com s 1

s 1 = 0,25

Menos do que isso é impossível, já que os próximos termos serão encontrados através de uma soma de termos positivos

Então essa alternativa está errada

Passo 3

Nossa terceira afirmativa:

É limitada superiormente por ∑ k = 1 n 1 2 k 2 , logo converge.

Como falamos no passo anterior, ela é limitada inferiormente e não superiormente. Então essa aqui também está errada.

Passo 4

A quarta afirmativa:

Converge a zero.

Uma sequência converge a zero quando seus termos tendem à zero

Como vimos no passo 1, os termos se afastam e zero, são pequenos, mas se afastam dele. Então essa séria não converge a zero, e está errada também.

Vamos analisar a última?

Passo 5

A quarta afirmativa:

É limitada superiormente por t n = ∑ k = 1 n 1 2 k , logo diverge

Vimos nos passos anteriores que essa sequência é limitada inferiormente, então essa aqui também está errada.

Sendo assim, a única afirmativa correta é a I

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

I

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1