Diga se as sequências são convergentes ou divergentes. Se convergir, encontre o limite

c )   a n = 3 n ! 3 n + 2 !

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa série parece complicada, mas vou ajudar você aqui!

Para dizer se uma sequência diverge ou não, precisamos calcular o limite! Mas como assim??

Limite de uma sequência é o mesmo limite de uma função! Lembra que sequência só admite n inteiros positivos, certo?

Então se o limite da função (que tem a mesma cara de uma sequência que estamos analisando) existe e é um número, isso significa que nossa sequência (que leva em consideração muitos menos pontos em comparação a uma função - que leva tooodos os reais) é convergente!

Beleza?

A cara da nossa sequência é

a n = 3 n ! 3 n + 2 !

Então para verificar se essa sequência diverge ou não vamos seguir esses passos aqui:

  • Escrever uma função igualzinha a nossa sequência, só trocando n → x
  • Analisar o limite dessa função quando x → ∞  
  • Se o limite existir e for um número: então a sequência converge. Se o limite não existir ou for ± ∞ , então nossa sequência diverge.

é isso! Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa sequência é

a n = 3 n ! 3 n + 2 !

E transformando para uma função temos

f x = 3 x ! 3 x + 2 !

Tranquilo até aqui?

Agora precisamos calcular o limite dessa função... mas pera aí! Como calculamos limite de FATORIAL???

Calma, vou te ajudar! Quando temos uma razão de fatorial podemos abrir o maior deles, e simplificar a expressão: nosso objetivo aqui é eliminar esse fatorial! Assim vamos ter uma expressão em função de x mesmo, até porque fatorial em função contínua nem faz sentido!

O maior deles é 3 x + 2 ! , vamos abrir até chegar em 3 x ! :

3 x + 2 ! = 3 x + 2 3 x + 1 3 x !

E agora simplificar

f x = 3 x ! 3 x + 2 ! = 3 x ! 3 x + 2 3 x + 1 3 x !

f ( x ) = 1 3 x + 2 3 x + 1

Agora sim! Podemos calcular o limite!

Passo 3

Agora vamos calcular o limite de f ( x ) quando x → ∞ :

lim x → ∞ ⁡ f x = lim x → ∞ ⁡ 1 3 x + 2 3 x + 1 = 1 ∞

lim x → ∞ ⁡ f x = 0

Beleza?

Encontramos que o limite existe e é zero! Isso significa que nossa sequência é convergente e converge para

a n → 0

ρ = 0

Ufa! Terminamos!

Bora pra próxima?

Resposta

c o n v e r g e ,   0

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