Verifique a convergência ou divergência da sequencia e das séries numéricas abaixo:

(3.2)

∑ n = 1 ∞ s e n 1 n

Passo 1

Antes de começar a análise, nota-se que o termo dentro da função seno é a função harmônica ∑ n = 0 ∞ 1 n , que sempre diverge. Essa observação dá um indício que podemos usar o teste da comparação no limite para verificar a convergência ou a divergência da série indicada pois já conhecemos o comportamento da série de teste.

Então, vamos aplicar o teste da comparação no limite.De acordo com a teoria desse teste, devemos comparar as duas séries no limite como mostrado abaixo:

lim n → ∞ ⁡ s e n ( 1 n ) 1 n

Caso o limite for igual a 1, temos que a série testada tem o mesmo comportamento da série usada de teste.

Para resolver esse limite, basta fazer uma substituição de variável:

x = 1 n

E, assim, teremos o limite fundamental:

lim n → ∞ ⁡ s e n ( x ) x = 1

Portanto, como o limite foi igual a 1 e a   ∑ n = 0 ∞ 1 n diverge,temos que a série ∑ n = 1 ∞ s e n 1 n diverge.

Passo 2

Resposta

Série diverge

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + 1 / n