(Capítulo 11.5 – Exercício 5) Teste a série quanto a convergência ou divergência.

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1

Passo 1

Faaala galera, vamos lá!

Esse exercício dá uma série pra gente:

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1

E aí queremos saber se ela é convergente ou divergente, ou seja, queremos saber se ela vai tendendo a algum determinado valor ou se ela explode pro infinito conforme a quantidade de termos aumenta, sacou?

Como temos o termo - 1 n na série, isso é uma série alternada, ou seja, que vai trocando os sinais entre positivo e negativo. Então, para analisar a convergência, vamos usar o Teste da Série Alternada, nada mais justo né? Hahaha

Esse teste diz que se uma série tiver o formato

∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n

Para que ela seja convergente, deve cumprir com esses dois requisitos:

1. b n ≥ b n + 1 ;

2. lim n → ∞ ⁡ b n = 0

Se ela não cumprir com um deles, ela diverge, fechou?

Então vamosss

Passo 2

Temos a série

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 2 n + 1

Comparando com ∑ n = 1 ∞ - 1 n ± 1 b n , podemos falar que

b n = 1 2 n + 1

Vamos checar cada um dos pontos do Teste. Começando pelo fato que b n + 1 ≤ b n , isto é, checar se a nossa função é decrescente. Para a nossa questão,

b n + 1 = 1 2 ( n + 1 ) + 1 = 1 2 n + 3

Comparando com b n = 1 2 n + 1 , temos que

1 2 n + 1 > 1 2 n + 3

Porque quanto maior o denominador, menor o resultado da divisão

Por isto, ela satisfaz o primeiro critério do teste!

Passo 3

Para testarmos o segundo critério, temos que analisar o limite da função. Portanto,

lim n → ∞ ⁡ b n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 n + 1 = 1 ∞ = 0

Como este limite tende a zero, satisfaz o segundo critério do teste. Como os dois critérios foram satisfeitos, a nossa série é convergente!

Ihuuuu

Resposta

A série é convergente.

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