Em relação à série ∑ k = 1 ∞ 1 + s e n 2 k 3 k , tem-se que:

  1. lim k → ∞ ⁡ 1 + s e n 2 k 3 k =  
  2. A série:

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema nos deu uma série e pediu duas coisas

  • Na letra (a) pediu o limite do termo geral (termo geral é a expressão que está dentro do somatório, no nosso caso 1 + s e n 2 k 3 k ) quando k → ∞ : aqui não tem muito mistério, tem que ter memória mesmo! Lembrar lá de cálculo 1! É só calcular o limite mesmo, usando todas as regrinhas que você já viu
  • E na letra (b) perguntou se a série diverge ou converge. Aqui precisamos achar qual teste vai confirmar o comportamento dessa série, e aqui que entra o truque sujo! Mas calma, vou te ajudar a identificar qual teste usar!

Vamos fazer passo a passo juntos?

Vamos lá!

Passo 2

Letra (a)

lim k → ∞ ⁡ 1 + s e n 2 k 3 k  

Lembrando que k é um número inteiro e positivo e que a função seno ao quadrado só pode assumir valores entre 0 e 1 , então a ideia aqui é analisar esse limite pela técnica do sanduíche!

Nosso numerador pode assumir valores entre 1 e 2 , então:

1 ≤ 1 + s e n 2 k ≤ 2

Sabendo que ela é limitada, a gente pode calcular o limite das pontas, e assim ‘sanduichar’ nosso limite, saca só!

Dividindo todas as partes por 3 k

1 3 k ≤ 1 + s e n 2 k 3 k ≤ 2 3 k

E aplicar o limite em todas as partes dessa desigualdade

lim k → ∞ ⁡ 1 3 k ≤ lim k → ∞ ⁡ 1 + s e n 2 k 3 k ≤ lim k → ∞ ⁡ 2 3 k

Os limites das pontas a gente sabe calcular:

lim k → ∞ ⁡ 1 3 k = lim k → ∞ ⁡ 2 3 k = 1 ∞ = 0

Assim nossa desigualdade fica:

lim k → ∞ ⁡ 1 3 k ≤ lim k → ∞ ⁡ 1 + s e n 2 k 3 k ≤ lim k → ∞ ⁡ 2 3 k

0 ≤ lim k → ∞ ⁡ 1 + s e n 2 k 3 k ≤ 0

Fizemos um sanduiche com nosso limite! Isso significa que o limite que queremos calcular é zero:

lim k → ∞ ⁡ 1 + s e n 2 k 3 k = 0

Beleza?

E já vou fazer uma observação que vai servir para ver a convergência ou divergência de uma série: se o limite no infinito do termo geral a k = 1 + s e n 2 k 3 k dessa sequência for:

lim k → ∞ ⁡ a k ≠ 0 :       a   s é r i e   é   d i v e r g e n t e lim k → ∞ ⁡ a k = 0   : n a d a   p o d e m o s   c o n c l u i r

Sendo assim, como o limite da nossa série foi zero, ela pode convergir ou divergir. Isso significa que precisamos aplicar algum teste.

Passo 3

Agora vamos para letra (b).

Nossa série é

∑ k = 1 ∞ 1 + s e n 2 k 3 k

Como ela envolve uma função limitada, e que no infinito ela se comporta como 1 / k , é interessante usar o teste da comparação

Vamos comparar a nossa série com uma outra que sabemos o comportamento, ou seja, comparamos nossa série com uma série conhecida.

E daí podemos ter duas opções:

  • Sempre que a série conhecida estiver por cima “por cima” e convergir, então a nossa série (que está “por baixo”) também irá convergir
  • Sempre que a série conhecida estiver “por baixo” e divergir, então nossa série (“que está por cima”) também irá divergir

Passo 4

Uma série conhecida é a série geométrica:

∑ k = 1 ∞ r k

Essa série converge se r < 1 , então podemos usar a série

∑ k = 1 ∞ 1 3 k

Ou melhor ainda

2 . ∑ k = 1 ∞ 1 3 k

Como r = 1 3 < 1 , então essas duas séries convergem

Então se ela estiver por cima da nossa série, isso indica que nossa série vai convergir também.

Temos que

∑ k = 1 ∞ 1 + s e n 2 k 3 k ≤ 2 . ∑ k = 1 ∞ 1 3 k

Já que o maior valor que o seno quadrado assume é 1 , então essa desigualdade é verdadeira

Beleza?

Como a série geométrica converge, e ela está “por cima”, então nossa série que está “por baixo” irá convergir também.

Então a série é: convergente

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

a )   0

b )   c o n v e r g e n t e

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Teste a convergência ou divergência das séries. ∑ n = 1 ∞ 2 n - 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ k = 1 ∞ k 3 - 1 k ( k + 1 )
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 4 + 1 n 3 + n
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n - 1 n 3 + 1
Teste a série quanto a sua convergência ou divergência. ∑ n = 1 ∞ n 2 - 1 n 3 + 1